Demostrar que si $X$ es estándar normal entonces $|X|$ y $1_{X>0}$ independiente

Question

Dado $X$ es Normal estándar distribuida ($X\sim N(0,1)$). Mostrar que $|X|$ $1_{X>0}$ son independientes.

Mi intento de $|X| = X$ $X>0$ , e $|X| = -X$$X\leq 0$. Cada una de estas posibilidades tiene $p=\frac{1}{2}$ $X$ ~ $N(0,1)$. Las mismas probabilidades de trabajo para$1_{X>0} = 1$$X>0$$0$$X<0$. Pero ahora, tenemos que encontrar la $P(|X|\cap 1_{X>0})$. Esta intersección resulta ser $1$ si $X>0$, e $0$ si $X\leq 0$.

Tenemos: $P(1) = P(0)=\frac{1}{2}$ (por la definición de $1_{X>0}$). Pero $\frac{1}{2}$ no es igual a $P(X)P(1)$ $X>0$ o $X\leq 0$, ¿no?

Mi pregunta creo que metí la pata con algo que aquí en el producto de las dos probabilidades. Podría alguien por favor ayudar a corregir?

Answer 1

Probando dos variables aleatorias son independientes es un poco diferente a probar dos eventos son independientes. Citando A Wikipedia,

Dos variables aleatorias $X$ $Y$ son independientes si y sólo si para cada a$a$$b$, los dos eventos $\{X \leq a\}$ $\{Y \leq b\}$ son independientes.

Y, de nuevo, citando a Wikipedia,

Dos eventos de $A$ $B$ son independientes si su probabilidad conjunta es igual al producto de sus probabilidades, $P(A \cap B) = P(A) P(B)$.

Así que, ahora, el uso de estas definiciones, para responder a su pregunta que tenemos que mostrar que para cada $a$ y $b$, $P(|X| \leq a \cap 1_{X > 0} \leq b) = P(|X| \leq a) P(1_{X > 0} \leq b)$.

Vea si usted puede transferir su trabajo realizado hasta el momento a estas definiciones.

Answer 2

Debemos mostrar %#% $ #%

A esbozo de la caso $$P(|X| \leq a, \mathbf{1}{X > 0} \leq b) = P(|X| \leq a)P(\mathbf{1}{X > 0} \leq b).$. Los otros casos deben ser fácil.

Comience pensando sobre el significado de los acontecimientos. El evento $0 \leq b 0} \leq b)}$.

Ahora podemos calcular las probabilidades usando la densidad ${|X| \leq a, \mathbf{1}_{X>0} = 0 } = { -a \leq X \leq a, X \leq 0 } = {-a \leq X \leq 0}$ de la normal estándar.

$\phi$$

Observe que hemos utilizado la simetría de $$ P(|X| \leq a, \mathbf{1}{X > 0} \leq b) = P(-a \leq X \leq 0) = \int{-a}^{0}\phi(x)dx = 1/2 \int_{-a}^{a}\phi(x)dx $. Por otro lado también tenemos

$\phi$$

donde utilizamos el hecho de que $$P(|X| \leq a)P(\mathbf{1}{X > 0} \leq b) = \int{-a}^{a} \phi(x)dx \int{-\infty}^{0} \phi(x)dx = 1/2 \int{-a}^{a}\phi(x)dx,$.