Divertido P6: Longitud del lado del Pentágono en cinco lados estrellas?

Question

Considere la posibilidad de un pentágono regular de lado de longitud $a$. Si se forma un 5 caras estrella utilizando los vértices del pentágono, a continuación, obtendrá un pentágono dentro de esa estrella. ¿Cuál es la longitud lateral de que el pentágono?

En general, para un n lados estrella, ¿cuál es la longitud lateral de la n-caras polígonos regulares en la estrella? La distancia entre dos vértices adyacentes ser $a$

Answer 1

Deje $x$ ser la longitud de los pequeños de n lados polígono regular en el star & $a$ ser la distancia entre dos vértices adyacentes, entonces el ángulo de punta de estrella regular polígono está dada como $$\alpha=\frac{\pi}{\text{number of vertices (points) in the star}}=\frac{\pi}{n}$$

Ahora, trazar una perpendicular desde un vértice de la estrella al lado de la pequeña polígono regular para obtener un triángulo rectángulo .

Utilizando la geometría de la derecha, triángulo, la longitud de la perpendicular trazada al lado de los pequeños polígono regular se puede obtener $$=\frac{a}{2}\csc\frac{\pi}{n}-\frac{x}{2}\cot\frac{\pi}{n}$$ Por lo tanto, en el triángulo rectángulo, uno debe tener $$\tan\frac{\pi}{2n}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{a}{2}\csc\frac{\pi}{n}-\frac{x}{2}\cot\frac{\pi}{n}}$$ $$x=\frac{a\tan\frac{\pi}{2n}\csc\frac{\pi}{n}}{1+\tan\frac{\pi}{2n}\cot\frac{\pi}{n}}$$ $$x=\frac{a\sin\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{2n}+\cos\frac{\pi}{n}\sin\frac{\pi}{2n}}$$ $$x=\frac{a\sin\frac{\pi}{2n}}{\sin\left(\frac{\pi}{n}+\frac{\pi}{2n}\right)}$$ $$\bbox[5pt, border:2.5pt solid #FF0000]{\color{blue}{x=\frac{a\sin\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{3\pi}{2n}}}}$$

$$\forall \ \ n=2k+1\ \ (k\in N)$$ Por lo tanto, de un pentágono regular en la estrella, la configuración de $n=5$, el lado del pentágono regular $$x=\frac{a\sin\frac{\pi}{10}}{\sin\frac{3\pi}{10}}=a\frac{\sin18^\circ}{\cos36^\circ}=a\frac{\frac{\sqrt 5-1}{4}}{\frac{\sqrt 5+1}{4}}=\color{red}{\frac{a}{2}(3-\sqrt 5)}$$

Editado detalles: Si la estrella polígono regular de $2n$ no. de los vértices que se obtiene mediante la colocación de dos congruentes $n$caras polígonos regulares uno en el otro, simétrica escalonados, de manera similar a un hexagrama , a continuación, una generalización de la fórmula para calcular el lado de la $x$ $2n$caras polígonos regulares en la estrella (habiendo $2n$ no. de los vértices & $a$ es la distancia entre dos vértices adyacentes) se puede derivar de la siguiente manera (ver figura a continuación)

El ángulo de punta de estrella regular polígono está dada como $$\alpha=\text{interior angle of a n-sided regular polygon}=\frac{(n-2)\pi}{n}$$

Ahora, trazar una perpendicular desde un vértice de la estrella al lado de los pequeños polígono regular para obtener un triángulo rectángulo.

Utilizando la geometría de la derecha, triángulo, la longitud de la perpendicular trazada al lado de los pequeños polígono regular se puede obtener $$=\frac{a}{2}\csc\frac{\pi}{2n}-\frac{x}{2}\cot\frac{\pi}{2n}$$ Por lo tanto, en el triángulo rectángulo, uno debe tener $$\tan\frac{(n-2)\pi}{2n}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{a}{2}\csc\frac{\pi}{2n}-\frac{x}{2}\cot\frac{\pi}{2n}}$$ $$\cot\frac{\pi}{n}=\frac{x}{a\csc\frac{\pi}{2n}-x\cot\frac{\pi}{2n}}$$

$$x=\frac{a\csc\frac{\pi}{2n}\cot\frac{\pi}{n}}{1+\cot\frac{\pi}{n}\cot\frac{\pi}{2n}}$$

$$x=\frac{a\cos\frac{\pi}{2n}}{\cos\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{2n}+\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{\pi}{2n}}$$ $$x=\frac{a\cos\frac{\pi}{n}}{\cos\left(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)}$$ $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{blue}{x=\frac{a\cos\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{2n}}}}$$

$$\forall \ \ \ \ n\ge 3\ \ (n\in N)$$ Por lo tanto, de un hexágono regular en el hexagrama (ver en el diagrama anterior) , la configuración de $2n=6$ o $n=3$, el lado del hexágono regular $$x=\frac{a\cos\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}}=a\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt 3}{2}}=\color{red}{\frac{a}{\sqrt3}}$$