¿Por qué estos cálculos de los campos EM para un imán y una espira de alambre parecen incoherentes?

Question

Suponga que tiene un bucle de alambre circular conductor y un imán que se mueven el uno hacia el otro. Se mueven a lo largo de la $z$ dirección con velocidad constante no relativista $v$ . Deje que el $B$ campo del imán en su marco de referencia sea paralelo al $z$ dirección: $$\vec{B} = (0,0,-z),$$ por lo que la fuerza de $\vec{B}$ disminuye linealmente a lo largo de $z$ . Dejemos que la normal de la superficie del área encerrada por el bucle de alambre apunte en la dirección $z$ dirección también. Ahora bien, este es mi problema: si quiero calcular los campos y las fuerzas que actúan sobre las cargas en el cable, obtengo resultados diferentes.

En el marco de referencia del imán hay un campo magnético estático $\vec{B} = (0,0,-z)$ y el bucle de cable se mueve con una velocidad constante $\vec{v} = (0,0,1)$ hacia el imán. En este caso no hay $E$ campo, por lo que la fuerza resultante sobre las cargas es $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ . Desde $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son paralelas, el producto cruzado es 0, por lo que no hay fuerza.

Si miro el marco de referencia del cable Hay un campo magnético que varía con el tiempo y que produce un campo eléctrico. Aquí es donde no lo entiendo. El campo eléctrico será $$\vec{E}' = \vec{v}\times\vec{B}$$ según Wikipedia (gamma es aproximadamente 1). En este caso $$\begin{align} \vec{E}' &= 0 \\ \vec{v} &= 0 \\ \vec{F} &= q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0 \end{align}$$ al igual que en el otro marco de referencia.

Pero si intento utilizar Ecuación de Faraday En cambio, el bucle de alambre ve un campo magnético variable en el tiempo, con una integral de superficie distinta de cero, por lo que hay tiene que ser un no-conservador, no-cero $E$ campo actuando sobre los cargos.

He intentado esto con diferentes campos magnéticos y cada vez mis cálculos fallan miserablemente. Me falta algo en alguna parte, pero no sé por qué.

Answer 1

Se te escapa el hecho de que tu situación, tal y como la has definido, es físicamente imposible. Recuerda que una de las ecuaciones de Maxwell es $\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0$ pero la configuración de su campo magnético $\vec{B} \propto (0, 0, -z)$ no satisface esto. Dado esto, no es sorprendente que las otras ecuaciones de Maxwell den resultados inconsistentes.

Por cierto, $(0, 0, -z)$ no es el campo magnético de un imán puntual. Necesitarías una distribución extendida y continua de carga magnética para obtener ese campo. Si supones que los monopolos magnéticos existen y puedes tenerlos distribuidos de manera que produzcan esta configuración de campo, tendrías un "fluido" de monopolos magnéticos en movimiento en el marco de referencia del cable, lo que explicaría el campo eléctrico.