Burbujas de vacío y reducción de LSZ

Question

Déjenme comenzar esta diciendo que no tengo un problema con esto:

$$ \langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle = \frac{\langle 0|T\phi_I\cdots\phi_IS|0\rangle}{\langle 0|S|0 \rangle}, $$

lo que quiero saber es por qué queremos calcular el $\langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle$ a todos.

Digamos que tiene un estado inicial $|i\rangle$ en la interacción de la imagen real de un campo escalar la teoría de que es un eigenstate de la libre de Hamilton, pero no de la interacción de Hamilton. Sin embargo, sólo porque no se trata de una eigenstate de la Hamiltoniana no quiere decir que no físico, es sólo un estado de superposición:

$$ |i\rangle = |\Omega\rangle\langle\Omega|i\rangle + \sum_{n=1}^{\infty}|n\rangle\langle n|i\rangle $$

donde $|n\rangle$ son autoestados de la totalidad de la interacción de Hamilton (lo que podría ser). Usted puede expandir $|i\rangle$ en términos de un producto de los campos de actuación en $|0\rangle$ (el vacío de la libre teoría de la):

$$ |i\rangle = \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{()}\ 2E_{q^{()}}\ e^{iq^{()} \cdot y^{()}}\phi[t;y^{()}]\right)|0\rangle $$

y todavía no hay nada de malo con esta declaración. Si usted está realmente tener consternations puede expandir $|0\rangle$ en términos de $|\Omega\rangle$ $|n\rangle$ y conseguir todo en términos de la interacción de Hamilton eigenbasis (si se hace esto y luego evolucionar hacia adelante en el tiempo se termina con la primera ecuación). Usted puede hacer una construcción similar para $|f\rangle$, el estado final.

Entonces lo que se desea calcular es la probabilidad de que $|i\rangle$ ha evolucionado en $|f\rangle$ después de algún tiempo $t_1 - t_0$ ha pasado:

$$ P = \langle f|U_{int}(t_1,t_0)|i\rangle $$

y, a continuación, el uso de la mencionada ampliación de $|i\rangle$ $|f\rangle$ puedes obtener:

$$ P = \\ \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{()}\ 2E_{q^{()}}\ e^{iq^{()} \cdot y^{()}}\right)\prod_{a=1}^{b'}\int\left(d^3z^{()}\ 2E_{r^{()}}\ e^{ri^{()} \cdot z^{()}}\right) \\ \langle 0|\prod_{a=1}^{b'}\left(\phi[t;z^{()}]\right) U_{int}(t_1,t_0) \prod_{a=1}^{b}\left(\phi[t;y^{()}]\right)|0 \rangle $$

y el último término parece

$$ \langle 0|T\phi_I\cdots\phi_I U_{int}(t_1,t_0)|0\rangle $$

sin la división por $\langle 0|S|0 \rangle$ $t_{0,1} \to \pm \infty,\ U_{int}(t_1,t_0) \to S$ necesario.

Mi pregunta es, ¿qué está mal con la forma en que hemos construido $P$ que se requiere tomar el límite infinito en el tiempo y dividiendo el que las burbujas de vacío ($\langle 0|S|0 \rangle$)? Tan lejos como puedo decirle nada de esto es necesario; elegimos $|i\rangle$ y no hay nada que nos detiene para elegir para ser un campo libre eigenstate, y elegimos $|f\rangle$ igualmente. La única trampas que puedo ver son si $|i\rangle$ es ortogonal a todo el que interactúan eigenbasis (la cual sería incompleta como base) o $P=0$ debido a la evolución en virtud de la interacción de Hamilton se lleva a $|i\rangle$ lejos de la que no interactúan entre estados.

Answer 1

1. No existe la noción de creación/aniquilación de los operadores en una interacción de la teoría. Esto significa que, en general, la ecuación $$ |i\rangle = \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{()}\ 2E_{q^{()}}\ e^{iq^{()} \cdot y^{()}}\phi[t;y^{()}]\right)|0\rangle $$ no tiene sentido. Más precisamente, se puede definir siempre $|i\rangle$ por esta expresión, pero esto no tiene nada que ver con el ramo de partículas nos separamos el uno del otro en los aceleradores. Es válido en el estado, pero no corresponde a la fuerte paquetes de onda que representan las partículas.

   Como debería ser más o menos clara por el estándar de la derivación de la LSZ fórmula, debe asumir una adiabática de la desconexión de las interacciones, de tal manera que los campos se vuelven gratis en la asintótica en el pasado y el futuro. Sólo cuando los campos son libres de obtener un bien definido creación del operador, de manera que usted puede preparar en estado actuando con ellos en el vacío. Sin la desconexión, y sin el límite asintótico, usted puede calcular oficialmente cosas con su $|i\rangle$ estado, pero no tienen nada que ver con que se mida en un experimento.

2. Se le olvidó a la normalización de sus estados. Para aclarar esto, tenga en cuenta que si usted no tiene partículas en ninguno de los casos en ni la salida de estado (es decir, un vacío a vacío de transición), su amplitud lee $$ P_{0\0}=\langle 0|U(-\infty,+\infty)|0\rangle $$ que es en general diferente de uno. Esto es claramente erróneo: la amplitud de acabar con el vacío, si usted comienza con el vacío, es uno. Para hacer de esta verdad, usted debe dividir su fórmula por el factor de $\langle 0|U(-\infty,+\infty)|0\rangle$, lo que la hace correctamente normalizado. En este caso, usted consigue $P_{0\to0}=1$, como sería de esperar.