Teorema de Fubini Tonelli, teoría de la medida

Question

Esta es una pregunta del libro de Folland, Supongamos $$f(x,y)=(1-xy)^{-a}$$ y $a>0$ . Comprueba si existen las siguientes integrales y si son iguales:

$$\int_{[0,1]\times[0,1]}f d(x,y),\int_0^1\int_0^1f(x,y)dxdy,\int_0^1\int_0^1f(x,y)dydx$$

Sé que tiene que ver con el Teorema de Fubini Tonelli y esto es en el contexto de la Integral de Lebesgue.

Sé que $$\int_{[0,1]\times[0,1]}fd(x,y)=\sum_{k\ge1}\int a_k\chi_{S_k\cap [0,1]\times[0,1]}d(x,y)$$ Ya que la función es no negativa. También es continua excepto en $(1,1)$ tan medible.

Si pudiera demostrar que la integral anterior es finita, entonces habría terminado. Pero ni idea de cómo demostrar que lo anterior es finito.

Answer 1

Cambio de coordenadas a coordenadas polares a la vuelta de la esquina $(1,1)$ muestra que la integral doble converge si y sólo si $\int\limits_0r^{−a}\,r\mathrm dr$ hace, es decir, exactamente para $a<2$ .