Subbase para una topología Munkres

Question

Tengo una pregunta sobre la siguiente definición:
Una subbase $S$ para una topología en un conjunto $X$ es una colección de subconjuntos de $X$ cuya unión es igual a $X$. La topología generada por la subbase $S$ se define como la colección $T$ de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de $S$.
Si tienes una subbase $S$ para una topología $A$, ¿es la topología generada por $S$ necesariamente también $A$? Parece que podrías tener muchas subbases diferentes para $A$, pero mi intuición es que no todas generan la misma topología $A. ¿Hay algo que me esté perdiendo? Gracias por cualquier ayuda/aclaración.

Atentamente,

Vien

Answer 1

Otras definiciones que son equivalentes:

Sea $X$ un espacio topológico con la topología $\tau$. Se suele definir una subbase de $\tau$ como una subcolección $\mathcal{B}$ de $\tau$ que satisface una de las dos condiciones equivalentes siguientes:

1. La subcolección $\mathcal{B}$ genera la topología $\tau.
   [Esto significa que T es la topología más pequeña que contiene a B: cualquier topología U en X que contenga a B también debe contener a T.]
2. La colección de conjuntos abiertos que consisten en todas las intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{B}$, junto con el conjunto $X$ y el conjunto vacío, forma una base para $\tau.
   [Esto significa que cada conjunto abierto propio no vacío en T se puede escribir como una unión de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{B}$. Es decir, dado un punto x en un conjunto abierto propio $U$, existen finitos conjuntos $S_1, \dots, S_n \in \mathcal{B}$, tal que la intersección de estos conjuntos contiene a x y está contenida en U. (wiki)]

Una colección de subconjuntos de un espacio topológico que está contenido en una base de la topología y se puede completar para formar una base al agregar todas las intersecciones finitas de los subconjuntos. (wolfram mathworld)