¿Prueba de la desigualdad de Ptolomeo?

Question

¿Puede alguien demostrar la desigualdad de Ptolomeo, que establece que para cualquier cuadrilátero convexo $ABCD$ se cumple lo siguiente: $$\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}$$

Sé que es una generalización del teorema de Ptolomeo, cuya demostración conozco. Pero de este no tengo ni idea, ¿alguien me puede ayudar?

Answer 1

Representar los cuatro vértices como los números complejos $a, b, c, d$ . Observe que

$$ (a-b)(c-d) + (a-d)(b-c) = (a-c)(b-d),$$

que puedes simplemente multiplicar. Entonces debemos tener que

$$\begin{align} |(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)| &= |(a-c)(b-d)| = |a-c||b-d| \\ |(a-b)(c-d)| + |(a-d)(b-c)| &\geq \\ |a-b||c-d| + |a-d||b-c| & \geq \end{align}$$

lo que equivale a tu pregunta. Para pasar de la primera línea a la segunda, utilizamos la desigualdad del triángulo. Para pasar de la segunda a la tercera (y obtener la segunda igualdad en la primera línea), utilizamos que los valores absolutos son multiplicativos.

En general, muchas nociones de geometría elemental se resuelven fácilmente con números complejos, o vectores en general para dimensiones superiores (pero poder simplemente multiplicar está muy bien).