El faro giratorio confunde el problema de cálculo

Question

Esto no es una tarea. Tengo las soluciones, sólo que no puedo entender por qué las mías están mal.

El problema se plantea : Un faro giratorio $3600$ pies de una orilla recta hace $2$ revoluciones por minuto. ¿A qué velocidad barre su haz de luz a lo largo de la orilla, (a) en el punto de la orilla más cercano a la baliza? b) en el punto de la orilla $4800$ ¿pies de distancia de la baliza?

Mis soluciones (la segunda está mal): No sentí que necesitara el cálculo para resolver (a). Básicamente, la baliza está viajando 2 veces la circunferencia de un círculo de radio 3600 pies a (supuestamente) velocidad constante en 1 minuto, por lo que $$C = 2 \pi r = 7200 \pi$$ y por lo tanto $v = 14400 \frac{feet}{minute}$ , que va a ser la velocidad instantánea en cualquier punto de la circunferencia de ese círculo, y esto coincide con la solución del libro.

Para (b), pensé que como el punto es $4800$ a metros de la baliza, podría tomar de nuevo la velocidad constante de la baliza a lo largo de la circunferencia de un círculo de radio 4800 esta vez y hacer que esa sea la velocidad instantánea en cualquier punto a lo largo de la circunferencia de ese círculo, y por lo tanto en el punto de la orilla $4800$ pies de distancia de la baliza.

Lo que me da $$C = 2 \pi r = 9600 \pi$$ y $v = 19200 \frac{feet}{minute}$ .

Sin embargo, El libro no está de acuerdo con ese resultado, y afirma:

Medir la distancia, $x$ a lo largo de la orilla desde el pie de la perpendicular de la baliza hasta la orilla y tomando $A$ como el ángulo entre esta perpendicular y el rayo, tenemos $x = 3600 \tan{A} $ . Por lo tanto, $\frac{dx}{dt}=\frac{14400 \pi}{\cos^2{A}}$ , lo que hace que la respuesta a (b) sea $25600 \pi \frac{feet}{minute}$ .

No entiendo por qué mi respuesta a (b) es incorrecta. Si la velocidad constante tuviera sentido como velocidad instantánea en un punto dado un radio de $3600$ por qué no funciona para un radio de $4800$ . No veo cómo las dos cuestiones son fundamentalmente diferentes.

Answer 1

La diferencia es el ángulo que hace la orilla con el haz de luz en cada punto.

Obsérvese que la pregunta es: "¿A qué velocidad barre su haz? a lo largo de la orilla ," lo que implica que la dirección es paralela a la orilla. Su método calcula la velocidad a lo largo de (tangente a) el círculo barrido por el haz de luz .

En tu parte (a) la línea de costa es tangente al círculo de barrido, por lo que tu dirección es a lo largo de la costa y tu respuesta coincide con la del libro. En la parte (b), el círculo se cruza con la línea de costa en un ángulo, que tu respuesta no ha tenido en cuenta.

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(Como señala @Michael en los comentarios, el siguiente análisis es incorrecto. Lo dejaré aquí para que los comentarios tengan sentido).

Es posible llegar desde su respuesta a la respuesta del libro. Tu respuesta es la componente del vector velocidad deseado que es perpendicular al rayo que va desde la baliza hasta el punto de intersección del círculo y la orilla. Puedes usar la trigonometría para encontrar el ángulo del vector velocidad deseado con tu componente y luego la magnitud del vector velocidad deseado. Hacemos ese tipo de problema en mi clase de Física de 12º grado, pero no me molestaré en hacerlo aquí. Pregunta si quieres esos detalles, pero creo que mis tres primeros párrafos responden a tu pregunta planteada.

Answer 2

La posición en la orilla está relacionada con el ángulo por $x(t) = d \tan \theta(t)$ .

La diferenciación da $\dot{x}(t) = d { 1\over \cos^2 \theta(t) } \dot{\theta}(t)$ .

En todos los casos $\dot{\theta}(t) = 4 \pi$ $\text{min}^{-1}$ , $d=3,600$ $\text{ft}$ .

Para la parte (a), si $\theta(t) = 0$ entonces tenemos $\dot{x}(t) = d \dot{\theta}(t) = 14,400 \pi $ $\text{ft } \text{min}^{-1}$ .

Para la parte (b), tenemos $\cos \theta(t) = {3600 \over 4800 }= {3 \over 4}$ así que $\dot{x}(t) = d ({ 4 \over 3})^2 \dot{\theta}(t) = 25,600 \pi$ $\text{ft } \text{min}^{-1}$ .