Suma a n términos la serie $\cos \theta+ 2\cos 2\theta+ \cdots + n\cos n\theta$

Question

Suma a $n$ términos y también hasta el infinito de la serie siguiente: $$\cos \theta+ 2\cos 2\theta+ \cdots + n\cos n\theta$$ la solución que aporta el libro es $$S_n=\frac{(n+1)\cos n\theta-n\cos(n+1)\theta-1}{2(1-\cos\theta)}$$ ¿Puede alguien ayudarme a explicar cómo conseguir $S_n$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: coge la integral que te den:

$$ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\dots+\sin nx)=\frac{\cos x/2 - \cos (n+ 1/2)x}{2 \sin x/2} $$

Ahora toma la derivada.

Answer 2

Para encontrar la forma cerrada de la serie de $\cos$ y $\sin$ funciones, el enfoque utilizando números complejos ayuda mucho. Considera, $z=e^{i\theta}$ , donde, $i=\sqrt{-1}$ . Necesitamos construir una función cuya parte real o imaginaria(de lo contrario tendremos $i$ en la suma, que no tenemos en la suma que nos interesa averiguar) dará la suma requerida. Ahora, si tomamos $f(z)=1+z+z^2+z^3+\cdots +z^n$ , $$z\cdot f'(z)=z+2z^2+3z^3+\cdots+nz^{n}\\=\cos{\theta}+2\cos{2\theta}+\cdots+\cos{n\theta}+i\sum_{k=1}^{n}k\cdot\sin{(k\theta)} $$ Por lo tanto, observe que $\Re{\{z\cdot f'(z)\}}$ es la suma requerida. Por otro lado, $f(z)=\frac{z^{n+1}-1}{z-1} $ da, $$\require{cancel}z\cdot f'(z)=z\cdot \frac{(z-1)\cdot (n+1)z^n-z^{n+1}+1}{(z-1)^2}=z\cdot \frac{(n+\cancel{1})z^{n+1}-(n+1)z^n-\cancel{z^{n+1}}+1}{(z-1)^2}\\= z^{n+1}\cdot \frac{n(z-1)-1}{(z-1)^2} $$

Ahora, $\sum_{k=1}^{n}k\cdot \cos{(k\theta)}=\Re{\{z\cdot f'(z)\}}=\Re{\{z^{n+1}\cdot \frac{n(z-1)-1}{(z-1)^2}\}}$ . Después de algunos cálculos obtendrás el resultado.