cero vector dentro y fuera de un lapso de vectores

Question

¿El lapso de los vectores$\{v_1, v_2, 0\}$ equivale al lapso de$\{v_1, v_2\}$?

Estoy luchando para pensar si esta afirmación es verdadera o no principalmente porque mi línea de pensamiento es:

todos los vectores en un tramo se pueden multiplicar por$0$ para obtener el vector cero, por lo que no debería ser el vector cero en todos y cada uno de los vectores?

Answer 1

¡Sí!

¡La operación de span es monótona!

Eso es si$A \subset B$ luego$\text{span}(A) \subset \text{span}(B)$

Asi que $\text{span}(\{v_1,v_2\}) \subset \text{span}(\{v_1,v_2,0\})$

La inclusión inversa también es cierta, ya que .....?

Recuerda que$\text{span}(A)$ significa intersección de todos los subespacios que contienen$A$ y dado que esta intersección es de nuevo un subespacio, cero está en ese espacio. Así que no nos preocupamos por incluir cero en el lapso

Answer 2

El lapso de $\{v_1,v_2,0\}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos tres vectores, y esto sin duda es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de $v_1,v_2$ que es el lapso de $\{v_1,v_2\}$.

Tal vez usted ha confundido esto con otro tema en tu pregunta: en efecto, el vector cero está en el lapso de cualquier conjunto de vectores, ya que mediante el uso cero de los coeficientes para cada vector se genera el vector cero. Usted necesidad de distinguir entre (1) el lapso de un conjunto de vectores y (2) los vectores en el conjunto utilizado para su vinculación.

Answer 3

Sí, por supuesto, por definición, es fácil verificar que los conjuntos$\{v_1, v_2, 0\}$ y$\{v_1, v_2\}$ abarquen el mismo subespacio y que el vector cero esté siempre en el intervalo de cualquier conjunto de vectores no vacío.

Answer 4

todos los vectores en un lapso que puede ser multiplicado por 0 para obtener el vector cero, por lo que no debería el vector cero en cada espacio de los vectores?

No es del todo claro cuál es tu pensamiento. Lo que podría llegar a que dado cualquier $v_1,v_2...v_n$ si $v_{n+1}$ está en el intervalo de $\{v_1,v_2...v_n\}$, en el lapso de $\{v_1,v_2...v_n\}$ y en el período de $\{v_1,v_2...v_n,v_{n+1}\}$ son los mismos. El lapso de un conjunto de vectores es, por definición, se cerraron sobre combinaciones lineales; añadiendo $v_{n+1}$ a tu lista de vectores no agrega nada nuevo a la luz, si usted puede conseguir $v_{n+1}$ a partir de los otros vectores.

En el ejemplo que usted da, el intervalo de $\{v_1,v_2,0\}$ se define como el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir en la forma $c_1v_1+c_2v_2+c_30$, para algunos escalares $c_1,c_2,c_3$. Pero si $v=c_1v_1+c_2v_2+c_30$, entonces claramente $v=c_1v_1+c_2v_2$, lo $v$ está en el intervalo de $\{v_1,v_2\}$