¿Dónde están los ceros de la función exponencial compleja?

Question

No hay ninguno porque tenemos$e^z \neq 0$ por cada$z \in \mathbb C$.

Pero tenemos la serie de Taylor que en todas partes converge a$e^z$, es$e^z = \displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac {z^k}{k!}$.

Si truncamos esa serie, por ejemplo, en% natural$m$, entonces tenemos el polinomio de Taylor$\displaystyle \sum_{k=0}^{m} \frac {z^k}{k!}$, que ha contado, tal vez con la posible multiplicidad,$m$ ceros complejos.

Entonces, a medida que crece el grado de polinomio de Taylor, aumenta el número de ceros, pero en el límite todos desaparecen, ¿por qué?

Answer 1

Buena pregunta. Una búsqueda en google me lleva a un papel de Ian Zemke, aunque esto no parece haber sido revisados por pares y no he comprobado yo mismo. Al parecer, demuestra que los ceros de $T_n(z) = \sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}$ tienden hacia una curva específica, después de la normalización. Es decir, si $p_n(z) = T_n(nz)$, entonces los ceros de $p_n(z)$ son asintóticamente cerca de la curva $$Γ = \{z : |ze^{1−z} | = 1, |z| ≤ 1\}.$$ Thus the zeroes of the original $T_n(z)$ tend to infinity linearly with $$ n.

Una buena visualización de Zemke del papel:

Edit: parece Que este resultado es en realidad debido a Gábor Szegő de 1924. Ver Hans Lundmark del comentario de abajo.