Un amigo mío me dijo que $X \cong Y \Rightarrow 2^X \cong 2^Y$ ( $X$ y $Y$ siendo conjuntos), lo cual es muy fácil de demostrar, pero se preguntaba sobre la inversa en ZF, es decir, ¿se pueden tomar logaritmos? Dado que la cuestión (aparentemente) más sencilla de si es posible dividir por un número natural no es especialmente trivial sin asumir el axioma de elección (véase Doyle, Conway: División por tres ), me imagino que este problema tampoco tiene una respuesta fácil.
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Mike
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De hecho, no sólo no es demostrable sin el Axioma de Elección, sino que no es demostrable con el axioma de la elección Por ejemplo, es coherente con AC que $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} = \aleph_2$ . Por otro lado, si $X$ y $Y$ son finitos entonces ciertamente $2^X\cong 2^Y \implies X\cong Y$ y para demostrarlo no hace falta AC en absoluto, ya que todas las cantidades implicadas son finitas. Más ampliamente, Teorema de Easton dice que, aparte de algunas limitaciones en su mayoría triviales (por ejemplo $A \gt B \implies 2^A \gt 2^B$ ), las cardinalidades de los conjuntos de potencias (de cardinales regulares) pueden ser totalmente arbitrarias.
