"hasta asociados" en el dominio euclidiano

Question

Sabemos que la distancia Euclídea de Dominio tiene la propiedad de Factorización Única.

Más precisamente, cada elemento distinto de cero en un anillo Euclidiano $R$ puede ser el único escrito (hasta associates) como un producto de los elementos principales o es una unidad en $R$.

La palabra "asociados" me confunde un poco.

P. S. consideremos el ejemplo en el dominio euclídeo $\mathbb{Z}[i]$ y considerar el primer factorizations tales como: $$(2+i)(1+i) \quad\text{and} \quad (-1+2i)(1-i)$$ Tenga en cuenta que$2+i\sim -1+2i$$1+i\sim 1-i$.

Puede que alguien me explique el significado de la frase "asociados" en el ejemplo de arriba, por favor?

Answer 1

Esto significa que los factores primos se determinan solo hasta un factor de unidad. De hecho, en los números enteros gaussianos, el grupo de unidades es$\;\{1,-1,i,-i\}$ y, de hecho,$$2+i=(-i)(-1+2i),\qquad 1+i=i(1-i).$ $ Tenemos la misma situación en$\mathbf Z$, donde$\mathbf Z^\times=\{1,-1\}$ y, por ejemplo,% #% ps

Answer 2

La unicidad de la factorización de hasta associates significa que si $r\in R$, distinto de cero y no una unidad, se escribe como $$ r = p_1p_2\dots p_m = q_1q_2\dots q_n $$ con $p_i$ $q_j$ irreducible, entonces

1. $m=n$
2. existe una permutación $\sigma$ $\{1,2,\dots,m\}$ tal que, para $i=1,2,\dots,m$, $p_i$ está asociado a $q_{\sigma(i)}$.

Dos elementos $a$ $b$ está asociado si hay una unidad de$u$$b=ua$.

Esto sucede también en los enteros: por ejemplo, $6=2\cdot3=(-3)(-2)$.

En su caso, $2+i$ está asociado a $-1+2i$ $1+i$ está asociado a $1-i$.

Answer 3

En el ordinario enteros el factorizations $$ 6 = 2\times 3 = (-2) \times (-3) $$ son equivalentes a los asociados debido a $2$ $-2$ son asociados, porque $$ -2 = (-1) \times 2 $$ y $(-1)$ es una unidad - tiene un inverso multiplicativo.

En los enteros de Gauss $2+i$ $-1 + 2i$ son asociados, porque $$ -1 + 2i = i \times (2 +i) $$ y $(-i)$ es una unidad, ya que tiene un inverso multiplicativo, es decir,$i$.

En los enteros que no suelen tener problemas con los "asociados" ya que no es una forma natural para especificar que prepara debería ser positiva. En los enteros de Gauss no hay una buena manera de distinguir entre los asociados $$ 2+i, -2 -i, -1 + 2i, 1 - 2i \ . $$