Mi pregunta es evaluar algunos integral del artículo "Un Simple Intrínseca de la Prueba de Gauss-Bonnet Fórmula para el Cerrado de Riemann Colectores de" escribir por Chern.
Vamos a ir a:
Si $(M^n,g)$ es un cerrado hasta la dimensión de Riemann colector con $\nabla$ Levi-Civita de conexión, podemos escribir localmente $\nabla_X V = \theta^i(X)e_i$, donde $V = v^ie_i$, $\theta^i = dv^i(X) + v^j\omega_j^i$ y $\omega_i^j$ conexión formas. De la misma manera para la curvatura de Riemann, tenemos $\Omega_i^j$ curvatura formas, satisfaciendo $d\omega_i^j = \omega_i^k \wedge \omega_k^j + \Omega_i^j$.
Así que, tirando de nuevo $\theta_i$ $\Omega_i^j$ $\rho: SM \rightarrow M$ donde $SM$ es la unidad de la esfera de paquete, podemos definir dos tipos de formas intrínsecas en $SM$, es decir,
$$\Phi_k = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma)v_{\sigma(1)}\theta_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \theta_{\sigma(n-2k)}\wedge\Omega_{\sigma(n-2k+1)}^{\sigma(n-2k+1)}\wedge \cdots \wedge \Omega_{\sigma(n-1)}^{\sigma(n)}$$ y
$$ \Psi_k = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \Omega_{\sigma(1)}^{\sigma(2)}\wedge\theta_{\sigma(3)}\wedge \cdots \wedge \theta_{\sigma(n-2k)}\wedge\Omega_{\sigma(n-2k+1)}^{\sigma(n-2k+1)}\wedge \cdots \wedge \Omega_{\sigma(n-1)}^{\sigma(n)}$$
$k = 0, \cdots \frac{n}{2} -1 $. No es demasiado duro para mostrar la siguiente relación recurrente: $$ d\Phi_k = \Psi_{k-1} + \frac{n - 2k - 1}{2(k+1)}\Psi_k$$
Donde $\Psi_{-1} \equiv 0$.
Definir la forma, en $M$, $\Omega = \displaystyle (-1)^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}Pf(\Omega_i^j)$ (llamado de Euler forma), la definición de Pfaffian polinomio aquí , obviamente $\rho^{*}\Omega = \displaystyle (-1)^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{2^n\pi^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}\right)!}\Psi_{\frac{n}{2}-1}$, escribir $\Psi_{\frac{n}{2}-1}$ en términos de $d\Phi_k's$ obtenemos $d\Pi = \Omega$$SM$,$\Pi = \displaystyle \frac{1}{\pi^{\frac{n}{2}}}\sum_{t=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1)^t \frac{1}{1 \cdot 3 \cdots (n - 2t - 1)t!2^{\frac{n}{2}+t}}\Phi_t$.
Con algunos trucos y Stokes teorema mostramos $$\displaystyle \int_M \Omega = \sum_{i=1}^{s}ind_{x_s}(\nabla_{g}f)\int_{SM_{x_s}}\Pi|_{SM_{x_s}} $$
para $x_1, \cdots, x_s$ singularidades de $\nabla_{g} f$, $f$ una Morse de la función. Me gustaría $\int_{SM_{x_s}} \Pi|_{SM_{x_s}} = 1$ al utilizar el índice de Hopf teorema.
En el papel, Chern reivindicaciones $$ \int_{SM_{x_s}} \Pi|_{SM_{x_s}} = \frac{1}{1\cdot3 \cdots (n-1)(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{SM_{x_s}}\Phi_0|_{SM_{x_s}}$$
y, por supuesto, es igual a 1, esencialmente, no sé por qué,$ \displaystyle \int_{SM_{x_s}} \Phi_k = 0$$k \geq 1$.
Gracias!
