Muestran que

Question

Mostrar que $$ \int_0^2 \int_0^2 \frac{x}{1+\ln(x^2y^2)} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \leq 4. $$

Cuando pienso en algo fuera de la caja, puedo ver que cuando yo croquis de los límites en un uno-dimensional manera, es claramente un área cuadrada con una longitud lateral de $2$, y obviamente $2^2 = 4$. Así que en teoría, si la integral definida es encontrar el área en ciertos límites impuestos, el área tiene que ser $\leq 4$

Es esta la manera correcta de acercarse a este tipo de pregunta? Y si es así ¿dónde debo ir?

Este es sólo un valor de $2$ $25$ marcas que me indicaría que soy no se espera completar la integración.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sobre el pensamiento fuera de la caja: uno de los principales trucos de Matemáticas es el de aprovechar el intercambio de sumas/límites/integrales. Este truco tiene muchas formas: la doble contabilización, Feynman del truco, Wilf-Zeilberger parejas, el teorema de Fubini, creativo telescópica... todos ellos se reducen a la misma idea poderosa. En nuestro caso, se puede tratar de escribir $\frac{1}{1+2\log(xy)}$ $\int_{0}^{+\infty}e^{-t} x^{-2t} y^{-2t}\,dt $ para obtener...

$$ \iint_{(1,2)^2}\frac{x}{1+2\log(xy)}\,dx\,dy = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\iint_{(1,2)^2} x^{1-2t} y^{-2t}\,dx\,dy\,dt $$ (la situación se vuelve temporalmente peor), a continuación, $$ \iint_{(1,2)^2}\frac{x}{1+2\log(xy)}\,dx\,dy = \int_{0}^{+\infty}\frac{(4^t-2)(4^t-4)}{(2t-2)(2t-1)} 4^{-2t} e^{-t}\,dt $$ (que es mucho mejor, ya que tenemos una integral en una sola variable). A pesar de su algebraicas nastyness la función de $\frac{(4^t-2)(4^t-4)}{(2t-2)(2t-1)} 4^{-2t}$ tiene una muy simple comportamiento en $\mathbb{R}^+$: es positivo, decreciente y acotada arriba por $\frac{3}{2}\,\exp\left(-\frac{7}{5}t\right)$. En particular, el original de la integral sobre la $(1,2)^2$ no exceda el $\frac{5}{8}$. Lo dejo a usted para adaptar este enfoque para tratar con la contribución de más de $(0,1)\times(1,2)$, $(1,2)\times(0,1)$ y $(0,1)^2$.

$4$ es en realidad un muy flojo límite superior de la integral original: más obligado es $I\leq \frac{17}{14}$.

Answer 2

OK para cualquier persona interesada en la respuesta requerida, me han dicho que para mi nivel de matemáticas, podemos simplemente estado: porque $\int_0^2\int_0^2xdxdy=4$ y $x$ dividido por algo mayor que uno, como se estipula en la desigualdad, siempre será $\le{x}$, la integral doble $\int_0^2\int_0^2{x\over1+log(1 + x^2y^2)}dxdy\le4$