$\int \frac{\sin^3x}{\sin^3x + \cos^3x)}$?

Question

Es posible evaluar la siguiente integral:$$\int \frac{\sin^3x}{(\sin^3x + \cos^3x)} \, dx$$

Answer 1

Bueno, todavía no estoy viendo ningún agradable formas de hacerlo. Yo veo al menos una forma de proceder, aunque. En primer lugar, dividir la parte superior e inferior por $\cos^3x$

$$\int\frac{\tan^3xdx}{1+\tan^3x}$$

Ahora hacer la sustitución

$$x=\tan^{-1}u,dx=\frac{du}{1+u^2}$$

$$\int\frac{u^3du}{(1+u^2)(1+u)(1-u+u^2)}$$

punto en el cual puede ser resuelto por fracciones parciales.

Answer 2

Poner $$I = \displaystyle\int{\dfrac{\sin^3 x}{\cos^3 x +\sin^3 x }}\mathrm{d}x , \quad J = \displaystyle\int{\dfrac{\cos^3 x}{\cos^3 x +\sin^3 x }}\mathrm{d}x.$$ Tenemos $$I + J = \displaystyle\int{\mathrm{d}x} = x+ C.$$ y \begin{equation*} I - J = \displaystyle\int{\dfrac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\cos^3 x +\sin^3 x }}\mathrm{d}x = \displaystyle\int{\dfrac{(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cdot \cos x)}{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cdot \cos x)}\mathrm{d}x} \end{ecuación*} Poner $t = \sin x + \cos x$, $\mathrm{d}t = -(\sin x - \cos x) \mathrm{d}x$ $ \sin x \cdot \cos x = \dfrac{ t^2-1}{2}.$ Tenemos \begin{equation*} I - J = \displaystyle\int{\dfrac{t^2 + 1}{t(t^2-3)}\mathrm{d}t} = \dfrac{2}{3}\ln{(t^2-3)}-\dfrac{1}{3}\ln t + C'. \end{ecuación*} y, a continuación, \begin{equation*} I - J = \dfrac{2}{3}\ln{((\sin x + \cos x)^2-3)}-\dfrac{1}{3}\ln (\sin x + \cos x) + C'. \end{ecuación*} De$I + J $$I - J$, se puede calcular el $I$.

Answer 3

Si todo lo demás falla, la de Weierstrass sustitución de hacerlo.

Answer 4

Yo creo que si este ejercicio se puede resolver de una manera sencilla (sin necesidad de pesados cómputo), entonces este debe ser el camino para acercarse a ella (de lo contrario, es solo un descerebrado de cálculo que sólo requiere aplicar algún algoritmo como el, así llamado, de Weierstrass de sustitución y le enseña nada).

Así, desde $$ \sin^{3}x+\cos^{3}x=\left( \sin x+\cos x\right) \left( \sin^{2}x-\sin x\cos x+\cos^{2}x\right) =\left( \sin x+\cos x\right) \left( 1-\sin x\cos x\right) , $$ a continuación, tratamos de expresar $\dfrac{\sin^{3}x}{\sin^{3}x+\cos^{3}x}$ como sigue (si posible), con el fin de ser capaz de (fácilmente) calcular ${\displaystyle\int}\dfrac{\sin^{3}x}{\sin^{3}x+\cos^{3}x}\;\mathrm{d}x$: \begin{align*} \frac{\sin^{3}x}{\sin^{3}x+\cos^{3}x} & =A+B\cdot\frac{\left( \sin x+\cos x\right) ^{\prime}}{\sin x+\cos x}+C\cdot\frac{\left( 1-\sin x\cos x\right) ^{\prime}}{1-\sin x\cos x}=\\ & =A+B\cdot\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}+C\cdot\frac{\sin^{2}x-\cos ^{2}x}{1-\sin x\cos x} \end{align*} A partir de aquí obtenemos que $$ \sin^{3}x=a\left( \sin^{3}x+\cos^{3}x\right) +B\left( \cos x-\sin x\right) \left( 1-\sin x\cos x\right) +C\left( \sin x+\cos x\right) \left( \sin^{2}x-\cos^{2}x\right) $$ por lo tanto \begin{align*} 0 & =(A+C-1)\sin^{3}x+(A-C)\cos^{3}x+B\left( \cos x-\sin x\right) -(B+C)\sin x\cos^{2}x+(B+C)\sin^{2}x\cos x\\ & =(A+C-1)\sin^{3}x+(A-C)\cos^{3}x+B\left( \cos x-\sin x\right) -(B+C)\sin x(1-\sin^{2}x)+(B+C)(1-\cos^{2}x)\cos x\\ & =(A+B+2C-1)\sin^{3}x+(A-B-2C)\cos^{3}x+(2B+C)\left( \cos x-\sin x\right) \end{align*} así $$ \left\{ \begin{array} [c]{r} A+B+2C=1\\ A-B-2C=0\\ 2B+C=0 \end{array} \right. $$ que tiene la (única) solución $$ \left\{ \begin{array} [c]{l} A=\frac{1}{2}\\ B=-\frac{1}{6}\\ C=\frac{1}{3} \end{array} \right. $$ por lo tanto \begin{align*} {\displaystyle\int}\dfrac{\sin^{3}x}{\sin^{3}x+\cos^{3}x}\;\mathrm{d}x &=Ax+B\log\left\vert \sin x+\cos x\right\vert +C\log\left\vert 1-\sin x\cos x\right\vert +\text{some constant}\\ &=\frac{x}{2}-\frac{\log\left\vert \sin x+\cos x\right\vert }{6}+\frac {\log\left\vert 1-\sin x\cos x\right\vert }{3}+\text{some constant} \end{align*} Esperemos que no lo hacen a cualquier error en mis cálculos.