Estoy escribiendo esta respuesta, de modo que la pregunta es eliminado de la sin respuesta de la cola, pero es probable que no es una inteligente, más una prueba directa.$\newcommand{\funcs}[2]{{}^{#1}{#2}}$$\newcommand{\lelex}{<_{\mathrm{lex}}}$
Voy a demostrar que (1) implica que $\kappa$ es inaccesible y tiene el árbol de la propiedad. Es un estándar de hecho de que estas dos propiedades son equivalentes a (2) (véase, por ejemplo, el Teorema 7.8 en Kanamori del libro).
En primer lugar, $\kappa$ es regular. De lo contrario, supongamos que $\langle\kappa_\alpha;\alpha<\lambda\rangle$ algunos $\lambda<\kappa$ es cofinal secuencia en la $\kappa$. Considerar el orden lineal $L=\sum_{\alpha<\lambda}[\kappa_\alpha,\kappa_{\alpha+1})^*$, es decir, comenzar con $\lambda$ y reemplazar cada una de las $\alpha\in\lambda$, con un intervalo $[\kappa_\alpha,\kappa_{\alpha+1})$ ordenados a la inversa. Cualquier aumento de la secuencia en la $L$ puede tener sólo un número finito de elementos en cada bloque, y no hay suficientes bloques para un aumento de la secuencia de longitud $\kappa$ a existir. Por otro lado, cualquier disminución de la secuencia en $L$ el tiempo debe estar contenida en un solo bloque, y ninguno de los bloques de tiempo suficiente para una disminución de la secuencia de longitud $\kappa$ a existir. Pero esto contradice (1).
En segundo lugar, $\kappa$ es un fuerte límite. De lo contrario, supongamos que no es $\lambda<\kappa$ tal que $2^\lambda\geq\kappa$. Considerar el orden lineal $L=(\funcs{\lambda}{2},\lelex)$. Supongamos que hay un aumento o disminución de la secuencia $\langle f_\alpha;\alpha<\kappa\rangle$$L$. En cualquier caso tenga en cuenta que si $\alpha<\beta<\gamma$ $f_\gamma$ aleja de $f_\alpha$ a más tardar a $f_\beta$ aleja de $f_\alpha$. Ahora fix $f_0$. Por la observación anterior, hay un nodo $t_0\in \funcs{<\lambda}{2}$ en la rama de $f_0$ y un ordinal $\alpha_0<\kappa$ tal que para cada a $\alpha\geq\alpha_0$ la rama de $f_\alpha$ divisiones de $f_0$$t_0$. Ahora repita este argumento con $f_{\alpha_0}$ para obtener un nuevo nodo $t_1\sqsupset t_0$ y una cola de las ramas que se dividen de$f_{\alpha_0}$$t_1$. Repita este $\lambda$ muchas veces y observar que los nodos $t_\alpha$ ahora forma una rama de $g\in \funcs{\lambda}{2}$. Pero $\kappa$ es regular, por lo que la secuencia de los números ordinales $\langle\alpha_\xi;\xi<\lambda\rangle$ está delimitado por algunos $\alpha_\lambda<\kappa$. Pero la forma en que hemos construido la rama de $g$, se deduce que todas las ramas después de la $f_{\alpha_\lambda}$ son igual a $g$, que conduce a una contradicción.
En tercer lugar, $\kappa$ tiene el árbol de la propiedad. Deje $T$ $\kappa$- árbol; podemos asumir que se trata de un subárbol de $\funcs{<\kappa}{\kappa}$. Considerar el orden lineal $L=(T,\lelex)$ donde $s\lelex t$ si $s$ es un segmento inicial de $t$ o, cuando se separaron, $s$ divide a la izquierda.
Supongamos que hay un lex-disminución de la secuencia de nodos $\langle t_\alpha;\alpha<\kappa\rangle$. Como antes, hay un nodo $s_0\sqsubset t_0$ de manera tal que una cola de la secuencia de divisiones de $t_0$$s_0$. Además, hay un ordinal $\eta_0$ tal que a (posiblemente más pequeños) la cola de la secuencia pasa a través de $s_0^\frown \eta_0$. Ahora repita este argumento $\kappa$ muchas veces antes de construir una rama de $T$.
Ahora supongamos que hay una lex-aumento de la secuencia de nodos $\langle t_\alpha;\alpha<\kappa\rangle$. Puede darse el caso de que esta secuencia contiene una rama, en cuyo caso se estaría hecho. Así que asumir que no es cofinal larga que forman una rama. Deje $P_0$ ser una máxima linealmente ordenado (en el árbol de la orden) subconjunto de la $t_\alpha$ contiene $t_0$. Por nuestra hipótesis de una cola de la $t_\alpha$ no está contenido en $P_0$, de modo que cada una de las $t_\alpha$ en esta cola debe separarse de $\bigcup P_0$. Ya que, de nuevo, después de los nodos de la secuencia deben separarse, a más tardar antes de nodos, una cola de ellos debe separarse de $\bigcup P_0$ en el mismo nodo $s_0$. Pero desde $T$ $\kappa$- árbol, debe ser un ordinal $\eta_0$ tal que a (posiblemente más pequeños) la cola de la secuencia pasa a través de $s_0^\frown \eta_0$. Ahora repita este argumento $\kappa$ muchas veces para construir una sucursal a través de $T$ a lo largo de los nodos $s_\alpha$.
