¿Cómo se comporta el TFSE?

Question

Creo que esta función es creciente para$x>1$, pero quería saber la razón. Así que he pensado en tomar la derivada:

$f(x)= x \sin(\frac{\pi}{x})$

Muestra la cadena de un producto de la regla, obtenemos:

$f'(x)= \sin(\frac{\pi}{x})-\frac{\pi}{x} \cos (\frac{\pi}{x})$

La función es creciente si la derative es mayor o igual a $0$, así:

$\sin(\frac{\pi}{x})-\frac{\pi}{x} \cos (\frac{\pi}{x}) \ge 0$

$\sin(\frac{\pi}{x}) \ge \frac{\pi}{x} \cos (\frac{\pi}{x}) $

Desde $ \cos ( x) > 0$, si $ 0< x < \pi$, $ \cos (\frac{\pi}{x}) > 0 $, debido a $ 0<\frac { \pi}{x}< \pi$.

$ \tan (\frac{\pi}{x}) \ge \frac{\pi}{x}$

Llego a este punto y no sabe cómo continuar. Me gustaría que me ayuden o me den una sugerencia, o tal vez ver una forma diferente de mostrar. De todos modos, gracias.

Answer 1

Has alcanzado el punto donde se quiere demostrar que para $x>1$:

$$\sin(\frac{\pi}{x})-\frac{\pi}{x} \cos (\frac{\pi}{x}) > 0$$

Si se introduce la variable $y=\frac\pi{x}$, la expresión se convierte en:

$$\sin y-y \cos y>0\tag{1}$$

También es obvio que:

$$x\in(1,+\infty)\implies y\in(0,\pi)\tag{2}$$

Básicamente, usted desea probar (1) para los valores de $y$ (2).

La gama completa de $y$ puede ser dividida en dos sub-rangos:

CASO 1: $y\in[\frac\pi2,\pi)$

En este caso particular,$\sin y>0$$\cos y\le0$. Obviamente, la expresión de la izquierda de (1) es positivo.

CASO 2: $y\in(0, \frac\pi2)$

En este caso particular,$\sin y>0$$\cos y>0$. En este caso (1) es equivalente a:

$$\tan y>y$$

Este es un hecho bien conocido y usted puede encontrar varias explicaciones diferentes/pruebas en la siguiente página: ¿por Qué $x<\tan{x}$ mientras $0<x<\frac{\pi}{2}$?

Aquí está el gráfico de $f(x)=x\sin\frac\pi{x}$:

Como ejercicio se puede demostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\pi$