Algunas afirmaciones sobre$f''(x)+xf'(x) = \cos(x^3f'(x))$

Question

Considere la posibilidad de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \in C^2$ tal que $f"(x)+xf'(x) = \cos(x^3f'(x)) \;\;\forall x \in \mathbb{R}$ cuál de las siguientes es correcta?

(i) Si $f$ tiene un punto crítico $x_0$, luego es un mínimo local.

(ii) $\exists r>0$ tal que $f$ es cóncava hacia arriba en $(-r,r)$.

(iii) $f$ puede tener más de un punto crítico

(iv) $f$ es impar

(v) $f(x)=0$ tiene al menos dos soluciones.

Aquí va mi intento:

(i) Si $f'(x_0)=0$,$f''(x_0) = \cos(0) = 1>0$, por lo que es un mínimo local. Verdadero.

(ii) Por la continuidad, como $f''(0)>0$, entonces no es un barrio de $B(0,r)$ donde $f''(x)>0 \forall x \in (-r,r)$. Verdadero.

(iii) Supongamos $f'(x_0)=f'(x_1)=0$$x_0>x_1$. A continuación, debe haber un punto de $c \in (x_0,x_1)$ tal que $f''(c)<0$, ya que tanto $x_0$ $x_1$ son mínimos locales y $f$ es continua. Verdadero. (¿Cómo puedo escribir esto precisamente?)

(iv) Desde $0$ es el único punto crítico de $f$,$\lim_{|x|\to\infty} f(x) = \infty$, por lo que no puede ser impar. Falso. (¿Cómo puedo escribir esto precisamente?)

(v) Desde $0$ es el único punto crítico y que no es extraño, entonces, que sólo pueden cruzar $x$-eje una vez a la izquierda en $0$ y una vez a la derecha en $0$, en la mayoría de los. Verdadero. (¿Cómo puedo escribir esto precisamente?)

Creo que he resuelto este ejercicio basado en la intuición geométrica, pero me gustaría ser riguroso. Por favor me ayudan a formalizar estas ideas.

Answer 1

iv) es falsa.

Si $f$ fueron extraño que hubiera $$f(x) = - f(-x) \implies f'(x) = f'(-x) \implies f''(x) = - f''(-x)$$ which contradicts the fact that $f" > 0$ on a neighborhood of $0$.

iii) y v) son verdaderas.

Se ha mostrado que el $f'' > 0$ en un barrio de cualquier número crítico $x_0$, lo que implica que $f'$ es estrictamente creciente en ese barrio. Desde $f'(x_0) = 0$, esto significa que $f$ es creciente en un intervalo $(x_0,x_0+\epsilon)$ y disminuyendo en algunos intervalo de $(x_0-\epsilon,x_0)$.

Supongamos que (por el bien de la contradicción) que $f$ cuenta con dos números importantes $x_1$$x_2$. Desde $f$ es continua alcanza un valor máximo en el intervalo de $[x_1,x_2]$. Desde $f$ es creciente en un intervalo de $(x_1,x_1+\epsilon)$ y disminuyendo en un intervalo de $(x_2-\epsilon,x_2)$ el máximo no puede ocurrir en cualquiera de las $x_1$ o $x_2$, lo que significa que el valor máximo de $f$ $[x_1,x_2]$ se produce en un punto interior $x_3$.

De acuerdo a los comentarios de arriba, $f$ debe ser decreciente en un intervalo $(x_3-\epsilon,x_3) \subset [x_1,x_2]$, contrario al hecho de que $f$ alcanza un valor máximo en $x_3$. Por lo tanto $f$ no puede tener dos números importantes.

Además, si $f$ tenía tres ceros, entonces según el teorema de Rolle $f'$ tendría que tener al menos dos ceros, lo cual fue descartado.