Esto no es realmente un gran problema. En esencia, sin embargo, las dimensiones de cero están mal definidos, y $[0]$ (es decir, las dimensiones de cero) es (a) no definido de manera significativa, y (b) nunca se usa en la práctica.
Permítanme empezar por hacer una cosa en claro:
Sería inapropiado para colocar las unidades de medición de $0 \,\mathrm m$ como este en un artículo académico?
Sí, esto está perfectamente bien, y es una práctica estándar.
La dimensionalidad mapa de $[\,·\,]$ tiene múltiples los diferentes convenios, pero todos ellos funcionan de la misma manera. El hecho clave es que las cantidades físicas se forma un espacio vectorial bajo la multiplicación, con exponenciación (sobre el campo $\mathbb Q$) tomando el papel de la multiplicación escalar. (Este es el motivo esencial por el análisis dimensional a menudo se reduce a sistemas de ecuaciones lineales, por cierto.) Las diferentes dimensiones de la base de masa, longitud, tiempo, carga eléctrica, etc. - se supone que para ser algebraicamente independientes y se extienden por el espacio, y la dimensionalidad mapa de $[\,·\,]$ lee el 'coordenadas' de una determinada magnitud física en términos de algún tipo de pre-elección de la base canónica.
Esto sólo funciona, sin embargo, si se excluye a cero en el juego. La cantidad de $1\,\mathrm m$ tiene un inverso multiplicativo, sino $0\,\mathrm m$ no, así que si usted incluyó sería romper el espacio vectorial axiomas. Este es, en general, ACEPTAR - no estás obligado a mantener esas propiedades, pero sí impedir el uso de las herramientas integradas en dicho espacio vectorial, en particular la dimensionalidad del mapa. Por lo tanto $[0]$ no se corresponde para nada.
Desde que explícitamente lo pidieron, aquí está una manera de formalizar lo que he dicho anteriormente.
- Un positivo cantidad física se compone de una tupla de 8$(x,m,l,t,\theta,c,q,i) \in\mathbb R^\times\times \mathbb Q^7$ donde $\mathbb R^\times=(0,\infty)$ es el verdadero grupo multiplicativo. Esto es por lo general aparece en el formulario
$$ x\,\mathrm{kg}^m\mathrm{m}^l\mathrm s^t\mathrm K^\theta\mathrm A^c \mathrm{mol}^q \mathrm{cd}^i.$$
- La multiplicación de dos cantidades físicas $p=(x,m,l,t,\theta,c,q,i)$ $p'=(x',m',l',t',\theta',c',q',i')$ se define como
$$pp'=(xx',m+m',l+l',t+t',\theta+\theta',c+c', q+q',i+i').$$
La identidad multiplicativa es $1=(1,0,0,0,0,0,0,0)$, y el inverso multiplicativo de a$p$$1/p=(1/x,-m,-l,-t,-\theta,-c,-q,-i)$.
- La exponenciación de una cantidad física $p$ a un exponente $r\in\mathbb Q$ se define como $$p^r=(x^r,rm,rl,rt,r\theta,rc,rq,ri).$$
A continuación, puede comprobar que estas dos operaciones satisfacer el espacio vectorial axiomas. El por encima de la construcción es, en realidad, una creación de instancias de la abstracta espacio vectorial $\mathcal Q$ de las cantidades físicas, pero es suficiente para tomar un ejemplo concreto para demostrar que esto funciona.
Por otro lado, la elección de las $\mathbb Q$ ya que el campo escalar es porque (a) es esencial para la estructura de espacio vectorial, y (b) es todavía algo razonable tener las cosas como $\mathrm {m}^{-3/2}$ (por ejemplo, las unidades de una función de onda). Por otro lado, cosas como $\mathrm {m}^{\pi}$ no puede ser hecho para tener sentido.
La dimensionalidad mapa de $[\,·\,]$ es, en primer lugar, una relación de equivalencia, que de commesurability. Es decir, podemos decir que para $p,p'\in\mathcal Q$, $$[p]=[p']\Leftrightarrow p/p'=(x,0,0,0,0,0,0,0)\text{ for some }x\in\mathbb R^\times.$$
Este es, de hecho, todo lo que usted realmente necesita para hacer el análisis dimensional, como he argumentado aquí, pero aún así es útil para ir un poco.
Los que son verdaderamente útiles espacio vectorial, si usted desea hacer el análisis dimensional, es el espacio vectorial de dimensión física: el espacio de las magnitudes físicas que una vez nos olvidamos de su valor numérico. Este es el cociente del espacio de $\mathcal Q$ sobre el commesurability relación de equivalencia:
$$\mathcal D=\mathcal Q/[\,·\,]=\{[p]\,:\,p\in\mathcal Q\}.$$
(Aquí he abusado de la notación ligeramente para hacer $[p]$ la clase de equivalencia de a $p$, es decir, el conjunto de todas las magnitudes físicas proporcionales a $p$.) El espacio vectorial de las dimensiones físicas, $\mathcal D$, tiene las mismas operaciones que en $\mathcal Q$:
- $[p][p']=[pp']$, y
- $[p]^r=[p^r]$.
Es fácil comprobar que estas definiciones no depende de las representantes de la $p$$p'$, por lo que las operaciones están bien definidos.
Dimensiones de análisis se lleva a cabo en $\mathcal D$. De las definiciones anteriores, se puede demostrar que las siete unidades de base de dar lugar a una $\{[1\,\mathrm {kg}], [1\,\mathrm m],\ldots,[1\,\mathrm{cd}]\}$$\mathcal D$. Más físicamente, aunque,
- las siete unidades de base son algebraicamente independientes, lo que significa que no puede ser expresado como múltiplo de la otra, y
- ellos son suficientes para capturar las dimensiones de todas las magnitudes físicas.
Estos son los principales requisitos físicos en un conjunto de unidades de base para el espacio abstracto $\mathcal Q$.
Después de esto, ya está todo, realmente. Y debe quedar claro que no hay manera de hacer que cero encajan en este esquema.
