Prueba $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / \left\langle (6,9)\right\rangle$ tiene un elemento de orden 3

Question

Estoy buscando en este examen de la pregunta número dos, que establece:

Deje $G$ ser el grupo $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, vamos a $a = (6,9) \in G$. Demostrar que $G/\langle a \rangle$ tiene un elemento de orden 3.

No estoy seguro de lo que se entiende por el grupo $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, es implícita a estar bajo la suma o la multiplicación?

Tengo la sensación de que la respuesta es para elegir:

$$(2,3)$$ $$(2,3)^2=(4,6)$$ $$(2,3)^3=(6,9) \stackrel{?}{=} (0,0)$$

Pero:

1. eso sería asumir en virtud de la adición, sin embargo no puedo pensar en una situación donde la multiplicación iba a funcionar.
2. No $G/ \langle a \rangle$ significa que no se $(6,9)$ en este conjunto y $(2,3)^3$ sería indefinido?

Answer 1

El producto Cartesiano de los grupos de la siguiente manera la definición natural. En este caso, tenemos $(z_1,z_2) + (y_1,y_2) = (z_1+y_1,z_2+y_2)$. La multiplicación aquí no es un grupo de operación ya que estamos tratando con $\mathbb{Z}$, que no tiene multiplicativo de los inversos de los elementos que no son 1 o -1.

Recuerdan $\left\langle a\right\rangle = \{ ...(-6,-9),(0,0),(6,9),(12,18),(18,27),... \} = \{(z6,z9) | z \in \mathbb{Z}\} $, es decir, múltiplos enteros de $(6,9)$. (Aquí, la multiplicación encuentra en sólo para la adición repetida y nocional conveniencia.)

El cociente grupo $G/\left\langle a\right\rangle$ sigue la definición normal para el cociente de los grupos, es decir, asociamos el elemento $(1,2)$ con $(7,11)$, $(13,20)$, $(-5,-7)$... es decir, cada elemento de a $(z_1,z_2)$ representa la equivalencia de la clase $(z_1+k6,z_2+k9)$ cualquier $k \in \mathbb{Z}$. En este caso, $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} / \left\langle (6,9)\right\rangle = \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_9$, por lo que debemos mostrar algún elemento de $\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_9$ tiene un elemento de orden 3. Tienes razón en su elección de $(2,3)$$\overline{(2,3)} + \overline{(2,3)} + \overline{(2,3)} = \overline{(6,9)} = \overline{(0,0)}$, lo $\overline{(2,3)}$ es de orden 3.