Supongamos que A es una matriz m x n, tal que ker(A) = 0. Demuestre que $A^TA$ es invertible

Question

Vale, he hecho la mayor parte del trabajo, pero necesito que alguien lo compruebe.

1) Puesto que sabemos que $Ker(A) = 0$ esto implica que $Ker(A^TA) = 0$

2) si el núcleo de $A^TA$ es $0$ entonces $dim(ker(A^TA)) = 0$

3) Ahora, si utilizamos el teorema de nulidad de rango,

$Rank(A^TA) + dim(ker(A^TA)) = n$

$n + 0 = n$

4) Podemos ver claramente que $Rank(A^TA)$ es igual a n

5) Según el teorema de la matriz invertible, una de sus condiciones establece claramente que si una matriz tiene rango completo, entonces es invertible.

Así pues, concluimos que $A^TA$ es invertible

¿Lo que acabo de hacer es suficiente para probar que $A^TA$ ¿es invertible? ¿he cometido algún error en mi lógica?

Answer 1

Otra forma de verlo:

$A^TA$ es invertible si y sólo si

$\ker A^TA = \{0\}. \tag 1$

Si

$x \in \ker A^TA, \tag 2$

entonces

$A^TAx = 0; \tag 3$

así

$x^TA^TAx = 0, \tag 4$

o

$(Ax)^T(Ax) = 0, \tag 5$

lo que implica

$Ax = 0, \tag 6$

o

$x \in \ker A = \{0\}; \tag 7$

así

$x = 0, \tag 8$

por lo que (1) se une.

Answer 2

A mí me parece bien. La otra pieza menor es que $A^{T}A$ es cuadrado. Así que tienes una matriz cuadrada con rango completo, por lo que es invertible.

Una forma peor de demostrarlo es utilizando la descomposición en valores singulares de $A = U\Sigma V^{T}$ donde $U$ y $V$ son ortogonales y $\Sigma$ es diagonal con todas las entradas positivas. Por lo tanto $A^{T}A = V \Sigma^2 V^{T}$ que es invertible ya que todos los valores propios $\Sigma_{ii}^2$ son distintos de cero.