¿Por qué son estas propiedades tan importantes, que generaron la teoría de celosía? O bien, ¿por qué se identificaron los posets que tienen estas propiedades (retículas) como de especial interés en comparación con otros posets?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Empecé a estudiar celosías, porque quería entender mejor ciertas estructuras jerárquicas que surgen a la hora de estudiar la estructura de dependencia entre las ecuaciones, variables y derivados en el diferencial de los sistemas algebraicos por la combinatoria de los medios. Un enfoque simple para representar la estructura de dependencia como un bipartito gráfico (donde el conjunto de nodos que se está dada por las ecuaciones, el otro de las variables, y de un borde es ahí cuando la variable se produce en la ecuación), calcular un máximo de coincidencia en ese gráfico, y derivar parcialmente ordenado estructura de bloque a partir de esa coincidencia como la Dulmage–Mendelsohn descomposición (en el caso de un perfecto maridaje, este es sólo el fuerte componente de la descomposición del grafo dirigido, la cual surge a partir de la identificación de la coincidencia de los nodos). Bueno, eso enfoque simple en realidad sólo se trata de la estructura de dependencia de un sistema de ecuaciones, pero similar (aunque más complicada) técnicas puede manejar el diferencial algebraica de la dependencia de las estructuras. Esto y mucho más se explica en los libros como las Matrices y Matroids para el Análisis del Sistema.
El título del libro que contiene la palabra mágica "matroid". Primero trató de comprender mejor matroids, pero estos son bestias extrañas. De alguna manera llevar a la no-trivial de algoritmos eficientes, pero todavía se las arreglan para esquivar a un entendimiento intuitivo. Pero matroids están relacionados con celosías y pedidos, véase, por ejemplo, la definición de Matroid en términos de cierre de los operadores.
Dos cosas típicas de mi caso parece ser que las primeras preguntas que surgieron en un número finito de combinatoria contexto, y para las estructuras "menos general" de las rejillas.
Los tres temas principales para la red de la teoría podría ser la abstracción de las características esenciales de los "sistemas de subconjuntos", la categoría "teoría" de las categorías, donde cada uno de los hom-conjunto tiene más de un elemento (preorder), y algebraicas de los modelos correspondientes a ciertas lógicas. Hay más temas de este, por ejemplo de la íntima conexión entre el álgebra universal y celosías de la teoría. O la "estructura de derivados de la máxima coincidente en un gráfico bipartito" preguntas, como investigado por concepto formal de análisis.
Para el "sistema de subconjuntos" tema, existen dos tipos de estructuras jerárquicas. En primer lugar no es el subconjunto de pedidos. Si el sistema es cerrado bajo finito de uniones e intersecciones, la resultante de celosía será distributiva. Algunos sistemas como el abrir los subconjuntos de una topología no está cerrado bajo intersecciones arbitrarias, y la correspondiente entramado teórico de los conceptos conduce a la Inútil de la topología. Pero doblemente, también existen las particiones de un conjunto dado $U$, que pueden ser representados como las relaciones de equivalencia. Estos son subconjuntos de a $U\times U$, y son cerrados bajo intersección. No están cerrados en virtud de los sindicatos, pero al menos el límite superior está siendo único y definido siempre. El resultado de celosía en general, no es distributiva. Pero para típica (=puesto de trabajo) las relaciones de equivalencia derivados de congruencias de estructuras algebraicas, todavía es modular (y también arguesian).
Para la "categoría" del tema, las condiciones para una cartesianas cerradas categoría , básicamente, llevar a un álgebra de Heyting estructura. Pero como solo se les preguntó acerca de "menos límite superior", esto es equivalente a la existencia de todos los binarios de co-productos en la categoría correspondiente. Un residuated celosía probablemente surge de las condiciones para un cerrado monoidal categoría, pero no he comprobado.
Para que la "lógica", el tema, usted puede estudiar álgebras Booleanas como celosías. Aparte de álgebras Booleanas y álgebras de Heyting, no estoy seguro de cómo la medida de la "lógica" de los temas que realmente ha sido explorado. En cierto sentido, la conexión a álgebra universal es también una conexión a primer orden de la lógica, pero esto parece ser de alguna manera la dirección equivocada.
Como conclusión, permítanme decir que, aunque hay muchas cosas que uno puede estudiar en relación con el entramado de la teoría, no estoy seguro de si la celosía de la teoría es en realidad la "correcta" de marco unificador. Por todas estas cosas, no es un orden parcial con todos finito menos superior y la mayor de las cotas inferiores, pero ¿y qué? No se siente como el entramado de la teoría sería un marco unificador abstracción de las características esenciales relacionadas con el orden y la jerarquía. Contraste esto con la categoría de teoría, donde yo y muchas otras personas que están convencidos de que es un marco unificador abstracción de las características esenciales relacionadas con las funciones y las correspondencias. Edit: Porque user89 destacó que este párrafo tenga sentido para él, me pregunté por qué celosía teoría no se siente como que podría resumen de las características esenciales. Hay algún tipo de asimetría en la mayoría de los casos de orden y jerarquía, como los abiertos y conjuntos cerrados en un espacio topológico, la diferencia entre el$f(x)\neq y$$f(x)=y$, o el bonito propiedades relacionadas con la universal de Cuerno de cláusulas. Mientras que la categoría de la teoría con sus dirigidos flecha se convierte estas asimetrías en buen dualidades, de celosía teoría de alguna manera parece negar la existencia misma de estas asimetrías. Pero a menudo, realmente me gustaría ser capaz de concretar estas asimetrías. Por ejemplo, incluso las ecuaciones y variables de mi introductorio ejemplo no son tan intercambiables como parece. Una ecuación corresponde a menudo a algo fundamental, como la conservación de la energía, sino una variable que a menudo es sólo un artefacto de un elegido de forma arbitraria sistema de coordenadas.
