Respuesta intuitiva a un problema cinemático

Question

El problema:

Dos partículas A y B parten del reposo y se mueven durante el mismo tiempo en línea recta. La partícula A tiene una aceleración a para la primera mitad del tiempo total y 2a para el segundo tiempo. La partícula B tiene una aceleración 2a para la primera mitad y a para la segunda mitad. ¿Qué partícula ha recorrido una distancia mayor?

Utilizando la 2ª ecuación de Newton, he averiguado la distancia recorrida por la partícula A cuando se mueve con una aceleración a y 2a por separado y sumé ambos, lo que dio como resultado 5/8 at^2. En el segundo caso de movimiento de la partícula B ya que la aceleración está cambiando de 2a a a Tomé la aceleración negativa. Del mismo modo para B obtuve la distancia total 3/8 at^2. Por lo tanto, esto significa que la partícula A ha cubierto una distancia mayor.

¿Por qué aunque ambas partículas viajen con aceleración a y 2a durante el mismo tiempo, la partícula A recorre una distancia mayor? Por favor, dame una respuesta basada en la intuición.

Answer 1

Dibujemos una gráfica de la velocidad contra el tiempo para las dos partículas $A$ y $B$ . Por conveniencia he hecho el tiempo total $2t$ :

La línea roja muestra la velocidad de la partícula $A$ mientras que la línea verde muestra la velocidad de la partícula $B$ .

Cuando dibujamos una gráfica velocidad:tiempo, la distancia recorrida es el área bajo la línea. Más exactamente, es la integral de la velocidad con respecto al tiempo, pero ésta es igual al área bajo la línea. El área bajo la línea verde es obviamente mayor que el área bajo la línea roja, así que podemos ver inmediatamente que la partícula $B$ viajó más lejos.

Por cierto, has interpretado mal la pregunta. Partícula $B$ acelera a $2a$ durante la primera mitad del tiempo y luego se acelera a $a$ para la segunda mitad. Así que su velocidad aumenta en todo momento. De hecho $B$ recorre una distancia de $3\tfrac{1}{2}at^2$ mientras que la partícula $A$ recorre una distancia de $2\tfrac{1}{2}at^2$ . Ni siquiera es necesario utilizar la ecuación SUVAT, ya que se pueden leer estas cifras directamente en el gráfico.

Answer 2

Me parece que a veces la intuición funciona mejor con ejemplos más extremos. Cambiemos un poco el problema. En lugar de una pequeña diferencia de aceleración (a frente a 2a), elijamos una gran aceleración durante un corto periodo de tiempo.

En este ejemplo modificado, tanto A como B van a ser disparados por un cañón. El disparo va a durar sólo 0,1s, pero con una aceleración muy alta (es decir, el resultado de la pólvora). Compara esto con tu ejemplo original en el que los dos objetos pasan el mismo tiempo acelerando a y 2a. En este nuevo ejemplo, el objeto pasa una pequeña fracción de su tiempo acelerando muy fuerte, y luego la costa durante el resto del experimento (vamos a prestar atención sólo a la distancia horizontal... así podemos ignorar la gravedad por ahora).

Digamos que vas a empezar el experimento en t=0s, y medir su posición en t=10s. La bola de cañón A (correspondiente a tu partícula A, que acelera a y luego 2a) comienza a acelerar en t=9,9s - apenas acelera al principio, luego acelera muy rápido. Mientras tanto, la bola de cañón B (correspondiente a tu partícula B, que acelera a 2a y luego a) comienza a acelerar en t=0,0.

Debería ser trivial ver que la bala de cañón que se disparó en t=0s viajará más lejos en t=10s que la bala de cañón que se disparó en t=9,9s habrá viajado en t=10s. Esta es exactamente la misma respuesta que obtienes con tu problema, sólo que llevada al extremo para facilitar la comprensión intuitiva.

Answer 3

Supongo que has utilizado la siguiente ecuación cinemática en tu solución: $$d = x_0 + v_{0}t + \frac{1}{2}a_{0}t^{2}$$ Recuerda que después de la aceleración inicial, las partículas habrán recorrido cierta distancia y ganado cierta velocidad. Por lo tanto, en el segundo paso en el que tienes una nueva aceleración, ya no tienes una posición y una velocidad iniciales nulas.

Tengo $\; d_{A} = \frac{7}{8}at^2$ y $d_{B} = \frac{11}{8}at^{2}$ para las distancias recorridas por las partículas A y B, respectivamente (aunque no lo he comprobado). Lo que concuerda con la intuición dada por las respuestas anteriores.

Answer 4

El mismo razonamiento que se aplica a los coches de carreras: La aceleración es importante si eres lento, porque entonces la relativa la variación de la velocidad en el tiempo será alta

edit: (también la velocidad es la aceleración acumulada, lo que significa que cuanto antes tengas una alta aceleración mejor porque la "mantendrás" hasta el final)

Answer 5

Creo que su respuesta es incorrecta. Primero el argumento intuitivo:

Supongamos que usted ha detenido ambas partículas después de la mitad del tiempo. Es obvio que en este caso habían recorrido la misma distancia. Al principio B es la primera, pero en la segunda mitad A la alcanzaría. Si no detienes las partículas antes de que continúen con una aceleración diferente también la velocidad que obtuvieron en ese momento contribuirá a la distancia cubierta. Como la partícula B ha acelerado más en la primera mitad, arrancará más rápido en la segunda. Por lo tanto, intuitivamente, B debería ser la partícula más rápida.

Esto también es cierto si se hace el cálculo. Lamentablemente no has mostrado el tuyo, pero supongo que tu error es que has tomado la segunda aceleración de B negativa. No hay ninguna razón para hacer esto. B continuará siendo cada vez más rápido, aunque a un ritmo más lento.

[EDITAR] Aquí hay más pistas:

Después del tiempo $t/2$ las partículas han recorrido la distancia $\frac 1 2 a \left(\frac t 2 \right)^2$ y $\frac 1 2 \cdot 2 a \left(\frac t 2 \right)^2$ para las partículas A y B, respectivamente. Pero hay que tener en cuenta que aunque dejaran de acelerar ambas seguirían con velocidad $a \frac t 2$ (para A) y $2 \cdot a \frac t 2$ (para B).