Residuo de $\frac{\tan(z)}{z^3}$

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de calcular el residuo de $\dfrac{\tan(z)}{z^3}$ ¿a cero? Podría utilizar el teorema de la integral de línea o expandirlo como una serie. ¿Hay alguna forma correcta de hacerlo?

Answer 1

No tienes que calcular la expansión de la serie. La dirección $z^{-1}$ -en la expansión en serie de $\tan(z)/z^3$ es el $z^2$ -en la expansión en serie de $\tan(z)$ . Pero esto es cero ya que $\tan$ es una función impar.

Answer 2

No hay una forma "correcta" de hacerlo, pero esto es lo que yo haría:

La serie en $z=0$ para $\tan(z)=z+\frac{z^3}{3}+\frac{2z^5}{15}+O(z^7)$ . Divídelo por $z^3$ y observe el coeficiente de $\frac1z$ .

Answer 3

$f(z):=\frac{\tan(z)}{z^3}$ , $z\neq0$ . Entonces $$ \begin{align} \operatorname{Res}(f,0)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(z)dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{\tan(z)}{z^3}dz\\ &=\frac{1}{2!}\frac{2!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\tan(z)}{(z-0)^{2+1}}dz\\ &=\frac{1}{2!}\tan^{(2)}(0)=0, \end{align} $$ donde $\tan^{(2)}$ es la segunda derivada del $\tan$ función.