Algunas preguntas sobre los números altamente compuestos

Question

A número altamente compuesto es un número natural $n\ge 1$ , de tal manera que $t(m)<t(n)$ para todos $m$ con $1\le m<n$ , donde $t(n)$ es el número de divisores de $n$ .

El enlace muestra que la factorización prima de dicho número $n$ contiene exponentes no crecientes y contiene todos los primos hasta el mayor factor primo de $n$ .

También se afirma que por cada $n>36$ el último exponente es siempre $1$ En otras palabras, si $p$ es el mayor factor primo de un número altamente compuesto $n>36$ entonces $p^2$ no divide $n$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

El mayor número altamente compuesto no divisible por $9$ parece ser $$1680=2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$

¿Es esto cierto, y cómo puedo probarlo?

Finalmente

Dada la secuencia de los exponentes, ¿existe un método eficiente para determinar si la secuencia corresponde a un número altamente compuesto?

Es evidente que basta con probar los números correspondientes a una secuencia no creciente y que la longitud está acotada por el menor primor que supere el número dado $n$ . Pero para los grandes $n$ En este caso, hay que comprobar muchas secuencias de este tipo.

Sólo por curiosidad: ¿Cuál es el mayor número altamente compuesto conocido?

Answer 1

Respuesta a la segunda pregunta:

Supongamos que $n>1680$ es altamente compuesto y no es un múltiplo de $9$ . Entonces: $$n=2^r\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot p_k$$ donde $p_k\ge11$ Es decir, $k\ge 5$

Entonces $t(n)=(r+1)2^{k-1}$ . Definir

$$n'=\frac{9n}{p_k}<n$$

Entonces $$t(n')=(r+1)4\cdot2^{k-3}=t(n)$$

lo que contradice el hecho de que $n$ es altamente compuesto.

Answer 2

Respuesta a la pregunta 1:

Supongamos que tenemos $n = 2^{a_1} 3^{a_2} \ldots p_k^{a_k}$ con $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_k \ge 2$ , $n > 36$ y $n$ es altamente compuesto. Afirmo que $a_1 \ge 3$ . Supongamos que $a_1 \le 2$ ; si $k=2$ entonces $n \le 2^2 3^2 = 36$ mientras que si $k \ge 3$ entonces $t(\frac{4n}{5}) = \frac{a_1+3}{a_1+1} \cdot \frac{a_3}{a_3+1}\cdot t(n) \ge \frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot t(n) > t(n)$ Así que $n$ no es altamente compuesto.

Pero entonces $t(\frac{p_{k+1} n}{2 p_k}) = 2 \cdot \frac{a_1}{a_1+1} \cdot \frac{a_k}{a_k+1}\cdot t(n) \ge 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot t(n) = t(n)$ , mientras que $\frac{p_{k+1} n}{2 p_k} < n$ por el postulado de Bertrand.

Answer 3

Parece que no es consciente de la Números superiores altamente compuestos . Esta es una subsecuencia definida por Ramanujan. Uno puede encontrar arbitrariamente muchas de estas, en orden, mediante una cuidadosa programación. Yo lo he hecho. Entonces, el mayor número conocido de HC es un número de SHC extraordinariamente grande.

Mientras tanto, G. Robin diseñó un método (1983) para utilizar dos números SHC consecutivos y rellenar todos los números HC entre ellos. Por lo tanto, una tarea bastante difícil.