Todos los distintos subgrupos de$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4$ isomorfos a$\mathbb{Z}_4$

Question

Esta pregunta es de un pasado en el examen.

Encontrar todos los subgrupos de $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4$ isomorfo a $\mathbb{Z}_4$

Intento/Pensamientos?

Desde $\mathbb{Z}_4$ es cíclico que estamos buscando cíclico de los subgrupos del grupo dado. Entonces puedo usar el teorema fundamental de f.g.ab. grupos para resolver este problema?. Tengo un tiempo difícil imaginar cómo los elementos en $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$ aspecto. Hay una manera estándar de proceder en este tipo de problema?.

Puede alguien ayudar?. Yo generalmente no piden respuestas detalladas aquí. Pero en este caso, lo agradecería muchísimo. Gracias.

Answer 1

Los elementos del producto son todos los pares $(a,b)$$a$$b$$\mathbb{Z}_4$. Ir con paciencia por encima de todos los candidatos para el generador del subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}_4$.

Empezar con $(0,1)$. Se genera un subgrupo de orden $4$, que consta de $(0,1)$, $(0,2)$, $(0,3)$, $(0,0)$.

Tenga en cuenta que $(0,2)$ no es bueno, mientras que $(0,3)$ genera un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}_4$ que ya tenemos.

Ahora continuamos con la $(1,1)$: bueno. Ahora intente $(1,2)$: bueno, llegamos a su vez $(2,0)$, $(3,2)$, $(0,0)$.

De continuar. Análisis rápido de la velocidad. Tenga cuidado de no incluir en el mismo subgrupo dos veces. Y tomar ventaja de la simetría: el análisis del grupo generado por $(0,a)$ es automática una vez que se han enfrentado con el grupo generado por $(a,0)$.

Observación: no Hay nada de malo con la informática. Uno se convierte íntimamente familiarizado con las estructuras de esa manera. Después de un tiempo nos encontramos con accesos directos.

Answer 2

SUGERENCIA:

Estás haciendo de este problema demasiado difícil!

Elementos de $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4$ son de la forma $(a,b)$ donde $a,b\in \mathbb{Z}_4$... y además es de coordenadas definido por el sabio.

La verdadera pregunta aquí es: si estás entregó $(a,b)$ donde$a,b\in\mathbb{Z}_4$, ¿cuál es su orden? Esencialmente, usted necesita para encontrar todos los elementos de orden 4, luego dividirlos en subgrupos cíclicos (puesto que no hay dos distintos subgrupos cíclicos de la misma orden se cruzan).

Ahora, resulta que el orden de $(a,b)$ es el mínimo común múltiplo de la orden de $a$, y la orden de $b$. Así, desde los elementos de $\mathbb{Z}_4$ sólo puede tener orden 1, 2, o 4, debe ser el caso de que cualquiera de las $a$ o $b$ es de orden 4; y, a la inversa también se mantiene.

Vea si usted puede terminar para arriba a partir de ahí. Encontrar un elemento; generar su subgrupo; encontrar otro elemento que no has visto hasta ahora; etc.

Answer 3

Si usted desea contar con ellos sin computar cualquier subgrupo en particular, puede hacerlo de la siguiente manera.

Un elemento $(x,y)\in \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$ orden $4$ si y sólo si uno de $x,y$ orden $4$. Este rendimientos $16-4=12$ orden $4$ elementos (contando los de a $x,y$ tienen orden de $1$ o $2$ y restas).

Un grupo cíclico de orden $4$ tiene dos generadores (cada uno de la orden de $4$ del curso). Y cada fin de $4$ elemento es el generador de un orden cíclico $4$ subgrupo.

Dos subgrupos cíclicos de orden $4$ son iguales si y sólo si comparten un generador.

Así que hay una partición física del conjunto de la orden $4$ de los elementos de los pares de los generadores de la misma orden de $4$ subgrupo cíclico.

Así que hay $\frac{12}{2}=6$ distinto orden cíclico $4$ subgrupos. Usted va a encontrar lo que realmente está por debajo de si realmente lo necesita.

Si usted quiere ser más explícito, tenga en cuenta que el mapa (isomorfismo $-Id$$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$) $(x,y)\longmapsto (4-x,4-y)$ induce una involución de la serie de fin de $4$ elementos sobre sí misma, de la cual se envía el generador de un orden cíclico $4$ grupo a otro generador. Esto le ayudará a ir a lo largo de todos estos $6$ subgrupos injectively.

Detalles: $(0,1)$ $(0,3)$ serán los generadores de la primera subgrupo cíclico de orden $4$ en lexicográfica del orden. A continuación,$(1,0)$$(3,0)$ . A continuación,$(1,1)$$(3,3)$. A continuación,$(1,2)$$(3,2)$. A continuación,$(1,3)$$(3,1)$. A continuación,$(2,1)$$(2,3)$. Entonces...no hay nada a la izquierda.