¿Cuál es el significado físico del coeficiente de difusión?

Question

En la primera ley de Fick, el coeficiente de difusión es la velocidad, pero no entiendo las dos dimensiones del concepto de esta velocidad. Imagino que los solutos se están difundiendo desde uno de los lados de un tubo a otro (este sería el mismo como personas corriendo de un lado de la calle) para unificar la concentración de todo el tubo.

Aquí tenemos un unidimensional de flujo en la dirección x. El coeficiente de difusión debe definir la velocidad de solutos o de las personas a través del tubo o de la dirección de la calle. Como las dos dimensiones de la velocidad hace esto? Deseo comprender el concepto de imaginar el significado real del coeficiente de difusión.

Answer 1

La difusión es un proceso estocástico donde una sola partícula puede moverse en cada dirección, con la misma probabilidad. Otra descripción de el coeficiente de difusión es el siguiente ecuación:

$$D = x^2/(2t)$$ donde $t$ es el tiempo y el $x^2$ es el desplazamiento cuadrático medio de las partículas en este momento.

El desplazamiento cuadrático medio, $x^2$, puede ser interpretado como la varianza estadística de las posiciones de partículas, por lo que el coeficiente de difusión puede ser interpretado como la velocidad a la que la varianza de los cambios.

Esta idea fue propuesta por primera vez por Einstein (1905. Ann. Phys., 17, 549--560. http://www.zbp.univie.ac.at/dokumente/einstein2.pdf)

Answer 2

Deje que se adhieren a tu ejemplo de la gente corriendo en la calle.

este sería el mismo como personas corriendo de un lado de la calle

Si todas las personas están en la misma dirección, entonces esto sería convección, y no de difusión.

Supongamos que usted tiene una habitación grande, con 100 chicos corriendo en direcciones al azar. Si usted le da un azar de la posición inicial en algún lugar de la habitación, no mucho va a cambiar. Excepto que cada hombre será en un lugar diferente la próxima vez que usted mira.

Ahora supongamos que usted deje a todos los chicos de partida en el lado izquierdo de la habitación. Usted está de pie con su espalda a la pared, exactamente en el centro. Inicialmente, usted, cada vez en un rato, ver a un tipo que pasa de su línea de visión desde la izquierda a la derecha. Nadie se cruza de derecha a izquierda, porque no hay nadie en el lado derecho. En algún momento, habrá que muchos chicos en el lado derecho, que también verá hombre que corre de derecha a izquierda, hasta que, en algún punto, no veo ninguna diferencia entre la izquierda y la derecha.

Este es básicamente el concepto físico detrás de difusión. Si va a reemplazar al hombre por moléculas, se obtiene un gas o un líquido. Estas moléculas también tienen algunos al azar de la velocidad y la dirección.

El coeficiente de difusión en este contexto, es la medida de cuán rápido el lado izquierdo y derecho 'mezcla', y por lo tanto también determina cuánto tiempo tiene que esperar antes de que usted no nota ninguna diferencia. Un mayor coeficiente de difusión significa más rápido de la mezcla.

Answer 3

El coeficiente de difusión $D$ es una constante relativos a la propagación de la $\left\langle x^{2}\right\rangle$ y el tiempo de $t$ se extendió a cabo. Esta relación puede ser claro, visto en la difusión de un solo punto de origen como seguir.

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Vamos a considerar las homogénea de la ecuación de difusión: $$u_t = D u_{xx} \tag{1}$$

La solución está dada por: $$u(x,t) = \int K(x,t,x')u_o(x')dx' \tag{2}$$ donde $u_o(x')$ es la condición inicial y el $K(x,t,x')$ es la difusión del núcleo (o Verdes de la función): $$K(x,t,x')=\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\left[-\frac{(x-x')^2)}{4 D t}\right] \tag{3}$$

Para un solo punto de origen $u_o(x')=\delta(x-x')$, tenemos la solución: $$u(x,t) = K(x,t,0) =\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\left[-\frac{x^2}{4 D t}\right] \tag{4}$$

La solución se muestra en la Fig. 1. Su segundo momento (igual a la varianza desde $\left\langle x\right\rangle=0$) está dada por $$\left\langle x^{2}\right\rangle=\int x^2 u(x,t)dx=2Dt \tag{5}$$

Por lo tanto, implica claramente que el crecimiento de la anchura de la plaza de $\left\langle x^{2}\right\rangle$ de la Gaussiana es lineal proporcional al tiempo $t$, con una tasa dada por $2D$.

Fig. 1

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El $x_{rms}=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle}$ define una escala de longitud de la difusión. Si tenemos otra escala de longitud $\ell$, sería de esperar que al $x_{rms}\gg\ell$ o $Dt \gg \ell^2/2$, entonces el comportamiento del sistema es el mismo que el de un solo Gaussiano con una única escala de longitud $x_{rms}$.

Vamos a considerar dos fuentes puntuales que se encuentra en $\pm \ell/2$ así que la solución es $$ u(x,t) = \frac{1}{2}(K(x,t,-\ell/2) + K(x,t,\ell/2)) \tag{6}$$

El resultado se muestra en la Fig. 2. Cuando el incremento de tiempo, los dos picos hacia fuera y finalmente se funden en uno, cuando el tiempo es lo suficientemente grande. Después de un largo tiempo, la solución puede ser descrito aproximadamente por: $$ u(x,t) \approx K(x,t,0) \tag{7}$$

Fig. 2: Parcela de Eq (6) cuando el tiempo es $Dt=0.01, 0.1, 1$ $\ell^2/2$ desde la parte superior a la parte inferior.