¿Por qué resolver $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}$ como esto está mal?

Question

Vamos a intentar $v=x+y$ , $w=x-y$ ,

A continuación, $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial w}\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial w}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial w}\dfrac{\partial w}{\partial y}=-\dfrac{\partial u}{\partial w}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(-\dfrac{\partial u}{\partial w}\right)=-\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\dfrac{\partial u}{\partial w}\right)\dfrac{\partial v}{\partial y}=-\dfrac{\partial^2u}{\partial vw}$

$\therefore-\dfrac{\partial^2u}{\partial vw}=\dfrac{\partial u}{\partial w}$

Deje $z=\dfrac{\partial u}{\partial w}$ ,

A continuación, $\dfrac{\partial z}{\partial v}=\dfrac{\partial^2u}{\partial vw}$

$\therefore-\dfrac{\partial z}{\partial v}=z$

$\dfrac{dz}{z}=-~dv$

$\int\dfrac{dz}{z}=\int-~dv$

$\ln z=-v+c_1(w)$

$z=c_2(w)e^{-v}$

$\dfrac{\partial u}{\partial w}=c_2(w)e^{-v}$

$u=\int c_2(w)e^{-v}~dw$

$u=C_1(v)+C_2(w)e^{-v}$

$u=C_1(x+y)+C_2(x-y)e^{-x-y}$

Yo lo hice correctamente en la Búsqueda de una solución analítica para la onda eqn utilizando el método de characterisitics , y no se sabe si correcta o no en la Resolución de $yu_{xx}+(x+y)u_{xy}+xu_{yy}=0$ , pero ¿por qué aquí no?

Answer 1

Desarrollarse @QiaochuYuan a comentar un poco: $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} &=& \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial}{\partial w} \\ &=& \frac{\partial}{\partial v} + \frac{\partial}{\partial w} \\ \frac{\partial}{\partial y} &=& \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial}{\partial w} \\ &=& \frac{\partial}{\partial v} - \frac{\partial}{\partial w}. \\ \end{eqnarray*}$$ La razón de esto es un cambio agradable de las variables de la ecuación de onda es porque $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} = 4 \frac{\partial}{\partial v} \frac{\partial}{\partial w}.$$ No hay tal cosa buena que sucede con la ecuación del calor.

Anexo: tenga en cuenta que $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &=& \left(\frac{\partial}{\partial v} + \frac{\partial}{\partial w}\right)^2 \\ &=& \frac{\partial^2}{\partial v^2} + 2 \frac{\partial}{\partial v} \frac{\partial}{\partial w} + \frac{\partial^2}{\partial w^2} \\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} &=& \left(\frac{\partial}{\partial v} - \frac{\partial}{\partial w}\right)^2 \\ &=& \frac{\partial^2}{\partial v^2} - 2 \frac{\partial}{\partial v} \frac{\partial}{\partial w} + \frac{\partial^2}{\partial w^2}. \\ \end{eqnarray*}$$ La transformada de la ecuación es $$\left(\frac{\partial}{\partial v} + \frac{\partial}{\partial w}\right)u(v,w) = \left(\frac{\partial^2}{\partial v^2} - 2 \frac{\partial}{\partial v} \frac{\partial}{\partial w} + \frac{\partial^2}{\partial w^2}\right) u(v,w).$$ No hay buen cancelaciones. Esta transformación hace que el PDE más difícil de resolver.

Answer 2

Esta ecuación es una ecuación del calor. Generalmente utilizamos los métodos de separación de variables o transformadas de Fourier.

Separación de variables: Vamos $$u=X(x)*Y(y),$$ then we get $$X'(x)Y(y)=X(x)Y''(y).$$ Es decir, $$X'/X=Y''/Y$$ Observe que el lado izquierdo de la ecuación anterior es una función de $x$, mientras que el lado derecho de la función de $y$. Así que si el lado izquierdo es igual al lado derecho, luego dos de ellos debe ser constante. Así $$X'/X=c,Y''/Y=c,$$ estas son las ecuaciones diferenciales ordinarias, que son fáciles de resolver.

Transformada De Fourier: Aviso de uso de la transformada de Fourier con respecto a $y.$