¿Bien pedido de enteros Gaussianos positivos bajo orden lexicográfico?

Question

Estoy leyendo un artículo de Richard Weimer llamado "Can los números complejos se ordenó?", y él hace la siguiente afirmación.

Deje $G^+=\{a+bi : a,b$ son enteros positivos $ \}$ y deje $<$ el valor lexicográfico de pedidos. Es fácil comprobar que hay un número infinito de Gauss enteros con respecto a $<$ $(a,b)$ $(a+1,b)$ donde $a,b$ son enteros positivos. (Entiendo que esta frase). Por lo tanto, se puede deducir fácilmente que $G^+$ bajo $<$ no está bien ordenado, es decir, no todos los no-vacío es subconjunto de a $G^+$ posee un elemento más pequeño. (Esta frase no la entiendo.)

Si usted tiene un subconjunto no vacío $S$$G^+$, no puede encontrar un mínimo de $c$ de los componentes de los elementos de la $S$ desde $a$ es un entero positivo? Entonces, si nos fijamos en el subconjunto $R = \{s \in S : \operatorname{Re}(s) = c\}$, no se tiene un mínimo elemento que también será el menor elemento de a $S$?

Answer 1

Tienes bastante razón. $G^+$ con orden lexicográfico es bien ordenado, por las razones que usted da. De hecho, su argumento muestra que cada vez que $A$ y $B$ son conjuntos bien ordenados, entonces la orden lexicográfica en $A \times B$ es un orden de bien (en tu ejemplo, $A=B=\mathbb{N}$). Este hecho puede utilizarse para definir la multiplicación de números ordinales.