Cálculo y teoría de categorías

Question

Una pregunta rápida:

¿Es posible diferenciar una función con respecto a otra función, o se limita a una variable concreta?

He intentado pensar en cómo hacer que esta pregunta tenga sentido, ¡pero no lo consigo!

Es decir, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es una función que acepta una función y devuelve una función (la derivada de la función original). Sin embargo, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ no es igual a $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}$ y no igual a $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}$ por lo que parece que la función de diferenciación sería:

derivada :: (real -> real) -> variable con respecto a la cual se está diferenciando -> (real -> real)

entonces, por qué no puedo hacer: $$ \begin{align} \text{let }f(x) &= \sin(x)\\ \text{let }g(x) &= \cos(x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}g} f(x) &=\ ??? \end{align} $$ y si puedo, ¿cómo se llama esto y dónde puedo leer más sobre esto?

Siento haber formulado mal la pregunta, pero tengo mucha curiosidad por saber cómo entender esta idea, ya que me parece que tengo una gran laguna de comprensión...

Lo formularía mejor, pero los libros de Cálculo están tan centrados en las aplicaciones y las pruebas, en lugar de explicar lo que es, y cuando intentan explicar lo que es, siguen sin explicarlo en términos que me sean útiles. Estoy tratando de entender cómo se puede visualizar el Cálculo bajo la Teoría de Categorías, para poder modelarlo mejor en Haskell otros lenguajes de programación.

Gracias. ~Dmitry

Answer 1

Para responder a la parte de tu pregunta sobre un punto de vista categórico del cálculo, Bill Lawvere desarrolló una axiomatización de la geometría diferencial en un topos liso, que unifica muchas operaciones tanto de la geometría diferencial (de ahí el cálculo clásico) como de la geometría algebraica. Esta hermosa teoría se llama geometría diferencial sintética y es, en muchos sentidos, mucho más sencillo que el enfoque habitual del cálculo mediante límites.

En la geometría diferencial sintética la derivada total es el functor hom interno $(-)^D$ , donde $D := \{ d \in R : d^2 = 0\}$ es el "vector tangente caminante". Aquí, $R$ es el objeto línea en el topos liso, que es como la línea real clásica pero aumentada con elementos nilpotentes.

Para ser más precisos, la definición anterior es una axiomatización de la functor tangente de la geometría diferencial clásica, por lo que, a diferencia de la derivada del cálculo clásico de una sola variable (que es un caso especial de la derivada exterior o derivada de Darboux), no pierde de vista los puntos base del espacio. La derivada clásica de un mapa entre espacios vectoriales puede obtenerse a partir del mapa tangente proyectando a la fibra típica del haz tangente, que es trivial en este caso.

Me disculpo si esto es un poco más allá de su cabeza, pero echa un vistazo a John Bell's Un manual de análisis infinitesimal para una introducción de nivel universitario, o Texto de libre acceso de Anders Kock para una introducción algo más avanzada pero más completa.

Answer 2

Su pregunta sobre la derivada de una función $f$ con respecto a una función $g$ se responde en los comentarios: $\frac{df}{dg}=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .

En cuanto al enfoque categórico, intentaré indicar algunos problemas inherentes a la categorización de las nociones de límites y derivadas del análisis.

Cuando defines algo en una categoría, estás definiendo un concepto que es sensible a todos los morfismos de la categoría. La forma más teórica de expresar esto es, por supuesto, la noción de universalidad, que está en todas partes en la teoría de las categorías.

Sin embargo, el límite de una función en un punto, o la derivada de una función en un punto, es una noción muy local. Puedes cambiar los valores de la función en todas partes fuera de una pequeña vecindad del punto, y el comportamiento local de la función en ese punto no cambia.

Por lo tanto, hay cierta tensión aquí entre la filosofía categórica donde todo es global y altamente sensible a los otros morfismos en la categoría, y las nociones analíticas de localidad.

Dicho esto, hay algunas cosas que pueden (más o menos) clasificarse. Está el trabajo de Lawvere sobre los espacios métricos generalizados, que muestra que gran parte de la teoría de los espacios métricos puede considerarse teoría de categorías enriquecida. En particular, la noción de (co)límites ponderados está relacionada con una noción analítica de límite, pero no con la ordinaria. La terminación de los espacios métricos se ha categorizado, pero también en este caso la noción categorizada no es exactamente la misma que la métrica analítica.

Answer 3

Hace un par de días me encontré con un artículo que se relaciona marginalmente con el tema de esta pregunta, así que pensé que sería útil citarlo aquí. Sí, me doy cuenta de que este documento tiene poco que ver con la pregunta específica formulada anteriormente, pero creo que es probable que alguien que busque en StackExchange de matemáticas lo que cubre este documento sea llevado a esta pregunta.

Giampaolo Cicogna, Un método de categorías para introducir una noción general de convergencia y límite , Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones 76 #1 (julio de 1980), 476-482. MR 81k:18002 Zbl 441.18006

El Introducción al papel sigue.

Este trabajo no contiene, propiamente, ningún "teorema nuevo". Más bien quiere proponer una construcción abstracta, esencialmente de naturaleza algebraica, que proporciona una especie de "axiomatización" de algunos temas clásicos del Análisis Matemático, así como posiblemente un marco conveniente para entender y generalizar algunas propiedades "globales" de los mismos.

Esta construcción general se obtiene utilizando una técnica típica tomada de la teoría de categorías: viene dada principalmente por extensiones (repetidas) de Kan [6, 8] de patrones adecuados de funtores, como describiremos en la siguiente sección. En la última sección, pondremos a prueba este esquema, reexaminando [= reexaminando] algunos conceptos clave del análisis, como la noción de límite, de envolvente semicontinua, las diversas nociones de convergencia, incluyendo algunas ideas más recientes y refinadas.

Answer 4

No sé si esto responde a su pregunta, pero podría inspirarse en el siguiente artículo de The Harvard College Mathematical Review: http://www.thehcmr.org/issue1_1/thanos.pdf

Básicamente habla de la derivada como un functor. Un problema (tal y como yo lo veo) al intentar categorizar algunas partes del análisis es que la teoría de categorías parece ser muy buena cuando tenemos mucha estructura y propiedades globales, pero el análisis no siempre se ocupa de estas situaciones. Gran parte del análisis tiene que ver más con las propiedades locales y la aleatoriedad. Terence Tao ha escrito algo sobre la dicotomía entre estructura y aleatoriedad que podría ser de valor: http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/icmslides2.pdf

Answer 5

Para otras formas de involucrar dos funciones en una derivada, yo echaría un vistazo a las derivadas de Stieltjes. Por ejemplo;

Daniell, P. J.: Diferenciación con respecto a una función de variación limitada. Trans. Amer. Math. Soc. 19 (1918), no. 4, 353-362.