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¿Cuál es la diferencia entre transformación de coordenadas y cambio de coordenadas?

En el contexto de los gráficos por ordenador en 3D, ¿cuál es la diferencia entre transformación de coordenadas y cambio de coordenadas ?

Puede ser sólo una cuestión de notación, pero mi libro hace una clara distinción entre los 2 términos (que no entiendo completamente).

Según tengo entendido, cambio de coordenadas significa cambiar el marco de referencia de todos los puntos expresados en un marco determinado y transformación de coordenadas significa, dado un conjunto de puntos (en algún marco de referencia), utilizar uno de ellos como nuevo origen (de un nuevo marco de referencia) y expresar todos los demás en términos de ése.

Me parece que el transformación de coordenadas es similar a las coordenadas globales y de objeto en las aplicaciones de gráficos por ordenador en 3D (como openGL).

¿Puede poner algunos ejemplos para señalar la diferencia (si la hay)?

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Son iguales. Pero ten en cuenta que hay muchos tipos diferentes de transformaciones de coordenadas: pueden ser lineales o no, mantener el origen fijo, etc. Siempre que los puntos geométricos ${\bf x}$ tienen coordenadas antiguas $(x_1,x_2,x_3)$ y nuevas coordenadas $(y_1,y_2,y_3)$ de algún tipo tal que el $y_i$ puede calcularse a partir del $x_i$ y viceversa, de forma definitiva tenemos ante nosotros una transformación de coordenadas.

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Sería más claro si añadieran la palabra "ejes" al cambio de coordenadas, por ejemplo, cambio de ejes de coordenadas. Entonces queda claro que mantenemos los puntos fijos en el espacio, pero sólo cambiamos los ejes y, por tanto, las coordenadas de cada punto P. Los nuevos ejes de coordenadas no tienen por qué ser ortogonales (por ejemplo, coordenadas polares).

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A transformación de coordenadas o "cambio de variables" es una asignación dinámica entre dos conjuntos. Obsérvese que el gráfico de cada conjunto utilizará el mismo sistema de coordenadas, normalmente ejes ortogonales para simplificar. Por lo tanto, aquí tenemos el principio de equivalencia (aunque conceptualmente son distintos). Podemos mantener fijos los puntos y "transformar" sólo los ejes de coordenadas, o mantener fijos los ejes y "transformar" los puntos. El último enfoque es útil para evaluar el Jacobiano, el primero es útil en álgebra lineal en el cambio de base.

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fang Puntos 844

Transformación de coordenadas es un término técnico. Se refiere al proceso de averiguar las nuevas coordenadas de un punto fijo en el espacio cuando se cambia el sistema de coordenadas. "Cambio de coordenadas" no es realmente un término técnico. Cuando un punto $P$ tiene sus coordenadas cambia de $(x_1,y_1)$ a $(x_2,y_2)$ Puede ser que el punto se mueva físicamente en el espacio o que simplemente estemos moviendo el sistema de coordenadas mientras el punto está fijo en el espacio. Ambas acciones provocarán el cambio del punto $P$ coordenadas.

Si tu libro está haciendo una distinción clara entre "transformación de coordenadas" y "cambio de coordenadas", creo que está utilizando "transformación de coordenadas" para referirse a la acción de mover el sistema de coordenadas y utilizando "cambio de coordenadas" para mover el objeto. Efectivamente, se trata de dos conceptos distintos.

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En cuanto a la terminología, mis investigaciones me llevan a creer que la terminología puede ir en ambos sentidos. Concretamente a transformación de coordenadas puede referirse a cambiar el marco de referencia manteniendo fijos los puntos; por ejemplo, cambiar los ejes cartesianos por ejes polares o cambiar las bases vectoriales en álgebra lineal. Y un transformación de coordenadas podría referirse a la acción de mover los puntos del objeto manteniendo fijos los ejes (normalmente los ejes comienzan ortogonales).

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Más enlaces para investigación y este y este y este . Ambos enfoques son útiles. Por ejemplo, "mantener fijos los ejes pero transformar sólo los puntos" es útil para derivar el factor jacobiano en la integración del cálculo, y "mantener fijos los puntos pero transformar sólo los ejes" es útil para el trabajo con gráficos 3D.

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Avi Flax Puntos 14898

Esto es algo que me molesta mucho de los temas aplicados o no matemáticos que inventan terminología superflua para aclarar algo a un público cuya formación en matemáticas cuidadosas es, en el mejor de los casos, escasa. Los textos de informática son famosos por ello, especialmente con el crecimiento explosivo de la geometría computacional en la última década. Los conocimientos matemáticos necesarios para que esta definición sea precisa no son demasiados: básicamente, teoría de conjuntos y álgebra lineal ingenuas, que cualquier buen informático debería dominar en algún momento.

Una transformación de coordenadas -o cambio de coordenadas, si se quiere- es simplemente un mapeo de una base ordenada a otra en un espacio vectorial V donde las coordenadas son los escalares de las combinaciones lineales de vectores base que generan el espacio. En física y geometría, donde estas transformaciones son tan críticas, las bases en cuestión son funciones que definen un sistema de coordenadas en V. Por lo tanto, la transformación de coordenadas es en realidad un operador lineal de V a V. Se puede encontrar un conjunto de notas muy agradable y breve que da ejemplos y algunas observaciones más aclaratorias aquí.

Para ser sincero, me ha desconcertado un poco el comentario de Christian Blatter. Siempre me enseñaron que una verdadera transformación de coordenadas en el sentido del álgebra lineal es siempre lineal por definición. Esto se extiende también a los manifolds, donde las transformaciones de coordenadas son isomorfismos locales entre espacios tangentes. Más en general, se pueden permitir transformaciones no lineales de las funciones base, por supuesto, como parametrización de familias de funciones por el Teorema de la Función Implícita. Pero en este caso, nos referimos a funciones que no son necesariamente funciones base en un espacio vectorial. Los físicos tienden a ser un poco más rápidos y sueltos con esta distinción que los matemáticos, ya que ambos tipos de transformaciones son importantes en la mecánica y su geometría subyacente. La distinción es importante, sin embargo, y el estudiante debe tener cuidado. Técnicamente, un cambio de coordenadas no lineal es no una transformación de coordenadas en sentido matemático.

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