Esto es algo que me molesta mucho de los temas aplicados o no matemáticos que inventan terminología superflua para aclarar algo a un público cuya formación en matemáticas cuidadosas es, en el mejor de los casos, escasa. Los textos de informática son famosos por ello, especialmente con el crecimiento explosivo de la geometría computacional en la última década. Los conocimientos matemáticos necesarios para que esta definición sea precisa no son demasiados: básicamente, teoría de conjuntos y álgebra lineal ingenuas, que cualquier buen informático debería dominar en algún momento.
Una transformación de coordenadas -o cambio de coordenadas, si se quiere- es simplemente un mapeo de una base ordenada a otra en un espacio vectorial V donde las coordenadas son los escalares de las combinaciones lineales de vectores base que generan el espacio. En física y geometría, donde estas transformaciones son tan críticas, las bases en cuestión son funciones que definen un sistema de coordenadas en V. Por lo tanto, la transformación de coordenadas es en realidad un operador lineal de V a V. Se puede encontrar un conjunto de notas muy agradable y breve que da ejemplos y algunas observaciones más aclaratorias aquí.
Para ser sincero, me ha desconcertado un poco el comentario de Christian Blatter. Siempre me enseñaron que una verdadera transformación de coordenadas en el sentido del álgebra lineal es siempre lineal por definición. Esto se extiende también a los manifolds, donde las transformaciones de coordenadas son isomorfismos locales entre espacios tangentes. Más en general, se pueden permitir transformaciones no lineales de las funciones base, por supuesto, como parametrización de familias de funciones por el Teorema de la Función Implícita. Pero en este caso, nos referimos a funciones que no son necesariamente funciones base en un espacio vectorial. Los físicos tienden a ser un poco más rápidos y sueltos con esta distinción que los matemáticos, ya que ambos tipos de transformaciones son importantes en la mecánica y su geometría subyacente. La distinción es importante, sin embargo, y el estudiante debe tener cuidado. Técnicamente, un cambio de coordenadas no lineal es no una transformación de coordenadas en sentido matemático.
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Son iguales. Pero ten en cuenta que hay muchos tipos diferentes de transformaciones de coordenadas: pueden ser lineales o no, mantener el origen fijo, etc. Siempre que los puntos geométricos ${\bf x}$ tienen coordenadas antiguas $(x_1,x_2,x_3)$ y nuevas coordenadas $(y_1,y_2,y_3)$ de algún tipo tal que el $y_i$ puede calcularse a partir del $x_i$ y viceversa, de forma definitiva tenemos ante nosotros una transformación de coordenadas.
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Sería más claro si añadieran la palabra "ejes" al cambio de coordenadas, por ejemplo, cambio de ejes de coordenadas. Entonces queda claro que mantenemos los puntos fijos en el espacio, pero sólo cambiamos los ejes y, por tanto, las coordenadas de cada punto P. Los nuevos ejes de coordenadas no tienen por qué ser ortogonales (por ejemplo, coordenadas polares).
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A transformación de coordenadas o "cambio de variables" es una asignación dinámica entre dos conjuntos. Obsérvese que el gráfico de cada conjunto utilizará el mismo sistema de coordenadas, normalmente ejes ortogonales para simplificar. Por lo tanto, aquí tenemos el principio de equivalencia (aunque conceptualmente son distintos). Podemos mantener fijos los puntos y "transformar" sólo los ejes de coordenadas, o mantener fijos los ejes y "transformar" los puntos. El último enfoque es útil para evaluar el Jacobiano, el primero es útil en álgebra lineal en el cambio de base.