ZFC + $\exists$ Modelo estándar $\rightarrow$ Con(ZFC + $\exists \omega$ -modelo)

Question

$ZFC + \exists V_\alpha$ modelo de $ZFC \vdash Con(ZFC + \exists$ modelo estándar transitivo de $ZFC)$

y luego

$ZFC + \exists$ modelo estándar transitivo de $ZFC \vdash Con(ZFC + \exists \omega-model$ de $ZFC)$

Para el primero :

Siempre podemos encontrar un extencional contable $M \subset V_\alpha$ equivalente elemental a $V_\alpha$ . Sea $M'$ sea el colapso mostowski de $M$ . $M' \approx M$ así que $M'$ es el modelo de ZFC. Y porque $M'$ es contable y transitivo, entonces $M' \in V_\alpha$ (ya que $H_{\omega_1} \subset V_{\omega_1}$ y $\alpha$ es seguramente mucho mayor que $\omega_1$ ).

Así que $V_\alpha$ es el modelo de ' $\exists$ un modelo transitivo estándar de ZFC".

Para el segundo :

No sé muy bien cómo hacerlo... ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

La parte 1 es correcta. [Y tenga en cuenta que obtenemos más: Por ejemplo, su $M'$ de hecho es un modelo de Con(ZFC+hay un modelo transitivo de ZFC)].

Para la parte 2: La afirmación "Existe una $\omega$ -modelo de ZFC" es $\Sigma^1_1$ : Tenga en cuenta que si hay un $\omega$ -existe uno contable (tome una subestructura elemental contable), y ahora podemos expresarlo diciendo que "existe un modelo real $x$ codificación de un modelo de ZFC, y existe un verdadero $y$ codificando un isomorfismo de orden de $\omega$ en los números naturales del modelo codificado por $x$ ".

El teorema de la absolutez de Mostowski nos da que cualquier modelo transitivo de ZFC es correcto sobre $\Sigma^1_1$ (véase la sección 13 del libro de Kanamori, por ejemplo). En concreto, su modelo transitivo es un modelo de la afirmación de que existe un $\omega$ -modelo.