La regla para evaluar los límites de las funciones racionales dividiendo los coeficientes de los poderes más elevados

Question

Tengo un problema de Límite de la siguiente manera:

Connor dice: "$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{6x^2 + 7x +3}{2x^3 + x^2 -2x -1}\right) = 3$ porque mi escuela secundaria maestro de cálculo nos dijo que el límite de un cociente de polinomios es siempre el cociente de los coeficientes de la mayor potencia de términos"

Si es correcto, se muestran en detalle cómo usar el álgebra y el límite de teoremas para evaluar este límite y obtener la misma respuesta

Si es incorrecto,

1, el uso de álgebra y teoremas límite para evaluar correctamente el límite y

2, escribe un párrafo que explique por qué Connor no debe esperar a la regla que recuerdo de la escuela secundaria para trabajar en este problema en particular

Soy capaz de evaluar correctamente el límite ( lim = 0), pero desde que mi primer idioma no es el inglés, no entiendo lo de Connor afirmó y cómo explicarlo. Alguien puede ayudar? Gracias de antemano

Answer 1

La regla se aplica cuando el poder más alto en el numerador y el poder más alto en el denominador son los mismos. Pero aquí la potencia más alta en el numerador es$2$ y la potencia más alta en el denominador es$3$. Entonces la regla no se aplica, y el límite correcto es$0$ como dijiste.

(Por supuesto que hay otra "regla de la escuela secundaria" para esta situación, es solo una regla diferente).

Answer 2

Si puede evaluar límites como este, debe recordar / saber que lo siguiente es verdadero:$$ \lim_{x\to \infty} \frac{ax^{\pmb n} + \sum_{i < n} a_i x^i}{bx^{\pmb n} + \sum_{i < n} b_i x^i} = \frac{a}b $ $ eso es lo que sucedió, si los polinomios en numerador y denominador tienen el mismo grado. Connor afirma erróneamente ("recuerda") que$$ \lim_{x\to \infty} \frac{ax^{\pmb m} + \sum_{i < m} a_i x^i}{bx^{\pmb n} + \sum_{i < n} b_i x^i} = \frac{a}b \tag{$ \ color {red} {\ rm wrong}$} $ $ contiene todos$n$ y$m$.

Answer 3

Teorema: si$f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que$f(x) \to a$ para algunos$a \in \mathbb{R}$ y$g(x) \to b$ para algunos$b \neq 0$% como$x \to \infty$, entonces$f(x)/g(x) \to a/b$ como$x \to \infty$.

Aplicando el teorema, vemos que $$ \ frac {6x ^ 2 + 7x +3} {2x ^ 3 + x ^ 2 -2x -1} = \ frac {\ frac {6} {x} + \ frac {7 } {x ^ {2}} + \ frac {3} {x ^ {3}}} {2 + \ frac {1} {x} - \ frac {2} {x ^ {2}} - \ frac { 1} {x ^ {3}}} \ a 0 $$ como$x$ crece indefinidamente.

Answer 4

$$\frac{16x^2}{2x^3} > \frac{6x^2 + 7x +3}{2x^3 + x^2 -2x -1}>\frac{6x^2}{3x^3} $$

todos grandes $x$. Ahora, por el teorema del apretón,

$$0 = \lim{x\to\infty}\frac{16}{2x} = \lim{x\to\infty}\frac{16x^2}{2x^3} \geq \lim{x\to\infty}\frac{6x^2 + 7x +3}{2x^3 + x^2 -2x -1}\geq \lim{x\to\infty}\frac{6x^2}{3x^3} = \lim_{x\to\infty}\frac{6}{3x}= 0$$

Por lo tanto, el límite es cero. Esta es una regla general: Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el límite es cero. Si no desea utilizar esta regla, utilice encima de derivación.

Answer 5

$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{6x^2 + 7x +3}{2x^3 + x^2 -2x -1}\right)=$$

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El término principal en el denominador de $\frac{6x^2 + 7x +3}{2x^3 + x^2 -2x -1}$ es $x^3$. Dividir el numerador y el denominador por esto:

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$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{\frac{6}{x}+\frac{7}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{2+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}\right)=$$

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Te expresiones $\frac{3}{x^3},\frac{7}{x^2},\frac{6}{x},-\frac{1}{x^3},-\frac{2}{x^3},\frac{1}{x}$ tienden a cero como $x$ $\infty$ acerca:

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$$\frac{0+0+0}{2+0-0-0}=\frac{0}{2}=0$$