Buen trabajo, incluyendo sus pensamientos: que nos da mucho para empezar!
si puedo demostrar que B es un anillo semisimple, entonces inmediatamente se sigue que M es B-semisimple. Muy cierto!! Por desgracia, sus instintos estaban en lo correcto de que esto es falso en general. El estándar de ejemplo, para tener sería el anillo de $R=End(_kV)$ donde $k$ es un campo y $V$ ha countably dimensión infinita sobre $k$. Este anillo no es Artinian o Noetherian, por lo que definitivamente no puede ser semisimple (sino $_kV$ es sin duda una semisimple $k$ módulo). (Leyenda: el endomorfismo anillo de un semisimple módulo es siempre una de von Neumann regular anillo. )
Otro enfoque que he tratado de mostrar que la submódulos y el B-submódulos de M son el mismo Este es otro buen primer pensamiento; sin embargo, el ejemplo de $R$ a su vez, muestra que este no es el caso. Mientras que $_kV$ es definitivamente un semisimple $k$ módulo, y puede ser escrita como una suma de countably simple $k$ submódulos, es fácil mostrar el uso de álgebra lineal que $V_R$ es un simple $R$ módulo!
Estas dos ideas no resultaron directamente, sino que están llenos de información que apunta en la dirección correcta (y, además, traen un montón de cosas que usted podría usar en el futuro problemas), así que es bueno que se les vino :)
La primera cosa que se nota en nuestro ejemplo de $R$ es que todos los de su simple submódulos se isomorfo. Nuestro módulo de $M$ puede que no tengan esa propiedad. Entonces, ¿qué sucede si nos fijamos en $M$ roto en homogénea piezas?
Lo que quiero decir es esto: vamos a considerar una fija simple submódulo $S_\alpha$$M$, y luego mirar a $M_\alpha:=\sum\{ S \mid S\cong S_\alpha\}$ (isomorphisms de $A$ módulos). Ejercicio: Demostrar que esto es una $B$ submódulo de $M$, $M=\oplus M_\alpha$ cuando la $\alpha$ han sido elegidos para el índice de un conjunto representativo de isomorfismo tipos de simple submódulos de $M$.
Pero esto está empezando a parecerse a nuestra $V$ $R$ ejemplo! Es $M_\alpha$ simple $B$ módulo? Si es así, entonces $M$ es sin duda un semisimple $B$ módulo. Así que finalmente puedo lado el problema de nuevo a usted:
Sugerencia: argumentan que $M_\alpha$ es un simple $B$ módulo. (La manera más fácil para mí pensar acerca de esto fue para mostrar que para cualquier valor distinto de cero $x,y\in M_\alpha$ existe un $A$ lineal mapa que envía a$x$$y$.)
