¿Función Zeta de generalizada a quaternions?

Question

<blockquote> <p>¿Se ha generalizado la función $\zeta(s)$ $\sum_n 1/n^s$, a quaternions, así $\zeta(q)$ $q$ un cuaternión?</p> </blockquote> <p>Euler definió para $s$ enteros, Chebyshev %#% real, #% Riemann $s$ complejo. Así que es natural para explorar $s$ un cuaternión. ¿Pero tal vez esto no conduce a una interesante hipótesis cuaternión?</p>

Answer 1

Puede definir $\zeta(q)$ para cualquier cuaterniones con parte real $\ne 1$ conectarlo a la serie de Taylor para $\zeta(x)$ alrededor de un punto real lo suficientemente lejos de $1$ en la dirección adecuada.

Esto no es muy emocionante, sin embargo, debido a que todos los cuaterniones $q$ se descompone como $a+b\ell$ donde $a$ $b$ son reales y $\ell$ es una cuádrupla satisfacer $\ell^2=-1$. Así que para todos los fijos $q$, todos los términos en la serie de Taylor se encuentran en el plano complejo atravesado por $1$$\ell$, y por lo tanto, no hay realmente nuevos fenómenos se muestran.

Esto demuestra que no importa que el centro de la serie de Taylor podemos elegir, como siempre que está más cerca de a $q$ que $1$. También demuestra que se puede ampliar la función de forma continua a los cuaterniones con parte real $1$ (otros que $1$ sí).