Encontrar el rango de una función sin usar inversa

Question

Así que estoy bastante cerca del nivel de los principiantes en el cálculo y tienen por lo general se utiliza la inversa de una función para encontrar su gama sin embargo no estoy seguro de qué hacer cuando se trata con esta función en particular. $$ h(t) = \frac{t}{\sqrt{2-t}}$$ I found the domain to be $(-\infty, 2)$ pero cuando intento usar el inverso para encontrar el rango, que termina en un desastre debido a las diferentes potencias de t. $$ y = \frac{t}{\sqrt{2-t}}$$ $$ \Rightarrow t = \frac{y}{\sqrt{2-y}}$$ $$ \Rightarrow t^2 = \frac{y^2}{2-y}$$ $$ \Rightarrow t^2(2-y) = y^2$$ $$ \Rightarrow 2t^2-t^2y = y^2$$...

Tal vez es porque soy un principiante, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí. Lo siento si es muy básica/pregunta fácil, pero realmente me gustaría aprender a lidiar con estos tipos de preguntas. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Tenemos que $h(t)$ es una función continua definida para $t

$$\lim_{t \to -\infty} h(t)=-\infty$$

$$\lim_{t \to 2^-} h(t)=\infty$$

por lo tanto por IVT , la gama es $\mathbb{R}$.

Además contamos con

$$h'(t)=\frac{4-t}{2\sqrt{(2-t)^3}}>0$$

por lo tanto $h(t)$ también es inyectiva y existe el inverso del $\mathbb{R}\to (-\infty,2)$.

Answer 2

De hecho, usted no necesita encontrar $h$ inverso para encontrar el rango de $h$. $h$ es un mapa continuo definido en $(-\infty ,2)$. Por otra parte, tiene

$\lim\limits{t \to 2^-} h(t)= \infty$ y $\lim\limits{t \to -\infty} h(t)= -\infty$. Por lo tanto el rango de $h$ es todo $\mathbb R$ utilizando el Teorema del valor intermedio.