Un teorema Tauberian de un cociente de serie de energía, el límite de la frontera

Question

Tomar secuencias de $a_n, b_n \in \mathbb R_{>0}$ (o $\mathbb C$) de tal forma que el límite de $$L = \lim_{N \to \infty}\frac{\sum_{n \leq N} a_n }{\sum_{n \leq N} b_n}$$ existe y tal que la potencia de la serie $f(x) = \sum a_n x^n$, $g(x) = \sum b_n x^n$ convergen en $(-1,1)$. Es allí cualquier teorema (posiblemente con condiciones adicionales) que garantiza que $$\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{g(x)} = L \quad?$$ en particular, que el límite existe?

Voy a ser feliz si esto es con el límite tomadas en el intervalo de $[0,1)$, no necesariamente en el disco completo $B(0,1)$.

Estoy especialmente interesado en el caso de que $\sum_{n \leq N} a_n$ crece rápidamente, por ejemplo, exponencialmente con el $N$.

Hay un artículo con un prometedor título: B. I. Korenblyum [B. Korenblum], "Un general Tauberian teorema para un cociente de funciones", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 88 1953, 745-748, ruso. Pero no puedo acceder a ella. (Volumen 88 se encuentra en el archivo en línea.)

Answer 1

Para no negativo de los coeficientes y de $x \in [0,1)$, es bastante sencillo el uso de la teoría general de Dirichlet de la serie. Para $t \geqslant 0$ definir $$A(t) = \sum_{n \leqslant t} a_n$$ y $B(t)$ de forma análoga. Escribir $x = e^{-s}$$s > 0$. Desde $$e^{-\lambda s} = s\int_{\lambda}^{\infty} e^{-ts}\,dt$$ podemos escribir $$f(e^{-s}) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n e^{-ns} = s\sum_{n = 0}^{\infty} a_n \int_{n}^{\infty} e^{-ts}\,dt = s\int_0^{\infty} A(t)e^{-ts}\,dt$$ y la expresión análoga para $g$.

Si $L_1 < L < L_2$, luego por hipótesis tenemos $$L_1 B(t) \leqslant A(t) \leqslant L_2 B(t)$$ para $t \geqslant t_0$ y por lo tanto $$L_1\int_{t_0}^{\infty} B(t) e^{-ts}\,dt \leqslant \int_{t_0}^{\infty} A(t) e^{-ts}\,dt \leqslant L_2 \int_{t_0}^{\infty} B(t) e^{ts}\,dt\,.$$ Así $$L_1\Biggl(s^{-s}g(e^{-s}) - \int_0^{t_0} B(t) e^{-ts}\,dt\Biggr) \leqslant s^{-1}f(e^{-s}) - \int_0^{t_0} A(t) e^{-ts}\,dt \leqslant L_2\Biggl(s^{-s}g(e^{-s}) - \int_0^{t_0} B(t) e^{-ts}\,dt\Biggr)$$ y en la división por $s^{-1}g(e^{-s})$ obtenemos $$L_1 + s\frac{L_1M(s)-K(s)}{g(e^{-s})} \leqslant \frac{f(e^{-s})}{g(e^{-s})} \leqslant L_2 + s \frac{L_2 M(s) - K(s)}{g(e^{-s})}$$ donde $$M(s) = \int_0^{t_0} B(t)e^{-ts}\,dt \qquad \text{and}\qquad K(s) = \int_{0}^{t_0} A(t) e^{-ts}\,dt\,.$$ Desde $M$ $K$ son de entera funciones, y $g(e^{-s})$ es monótonamente decreciente con $\lim_{s \to 0^+} g(e^{-s}) \in (0, + \infty]$, el lado izquierdo y derecho de la desigualdad anterior tienden a $L_1$$L_2$, respectivamente, de dónde $$L_1 \leqslant \liminf_{s \to 0^+} \frac{f(e^{-s})}{g(e^{-s})} \leqslant \limsup_{s \to 0^+} \frac{f(e^{-s})}{g(e^{-s})} \leqslant L_2\,.$$ Ya que esto tiene para arbitrario $L_1 < L$$L_2 > L$, la existencia del límite de la siguiente manera.

El argumento puede ser fácilmente generalizables a real $a_n, b_n$ bajo la condición de que hay un $\beta > 0$ tal que $B(t) \geqslant \beta$ para todos lo suficientemente grande $t$.