¿Se puede % de esfuerzo de torsión neto $\sum_i\mathbf r_i\times\mathbf F_i$expessed $\mathbf r\times$ (fuerza neta) $\mathbf r$?

Question

Deje $\mathbf F_i$ ser de las fuerzas de cada uno de los cuales es aplicado en $\mathbf r_i$ de un cuerpo rígido. Entonces existe un vector de posición $\mathbf r$ que satisface

$$\displaystyle\sum_i\mathbf r_i\times\mathbf F_i =\mathbf r\times\displaystyle\sum_i\mathbf F_i~ ? \tag{1}$$

Bueno, lo que quiero conseguir es dejar $\mathbf r_i=(r_{i,x},r_{i,y},r_{i,z})$, $\mathbf F_i=(F_{i,x},F_{i,y},F_{i,z})$, $\mathbf r=(r_x,r_y,r_z)$ es

$$\begin{bmatrix} 0 & \sum F_{i,z} & -\sum F_{i,y}\\ -\sum F_{i,z} & 0 & \sum F_{i,x}\\\sum F_{i,y} & -\sum F_{i,x} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_x\\ r_y\\r_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum (r_{i,y}F_{i,z}-r_{i,z}F_{i,y})\\\sum (r_{i,z}F_{i,x}-r_{i,x}F_{i,z})\\\sum (r_{i,x}F_{i,y}-r_{i,y}F_{i,x}) \end{bmatrix}, \etiqueta{2}$$

y $$\begin{vmatrix} 0 & \sum F_{i,z} & -\sum F_{i,y}\\ -\sum F_{i,z} & 0 & \sum F_{i,x}\\\sum F_{i,y} & -\sum F_{i,x} & 0 \end{vmatrix}=0. \etiqueta{3}$$

Debido a que la matriz es singular, el sistema no podría tener una solución única.

Así es en el caso de que generalmente $\mathbf r$ no puede ser única (o incluso inexistentes)? Si es así ¿cuál es el criterio de unicidad de $\mathbf r$?

Answer 1

Sí. La solución es:

$$ \bf{r} = \dfrac{\left( \sum {\bf F}_i\right) \times \left( \sum ({\bf r}_i \times {\bf F}_i) \right)} {\| \sum {\bf F}_i \|^2} =\dfrac{{\bf F} \times {\bf \tau}}{{\bf F}\cdot{\bf F}}$$

A continuación, puede mostrar que

$$ {\bf r}\times \left(\sum {\bf F}_i \right)= \sum ({\bf r}_i \times {\bf F}_i) = {\bf }\tau$$

El uso de ${\bf F} =\sum {\bf F}_i$ ${\bf \tau} = \sum {\bf r}_i \times {\bf F}_i $ y el triple producto vectorial $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$

$$\begin{aligned} {\bf r}\times {\bf F} &= \left(\dfrac{{\bf F} \times {\bf \tau}}{{\bf F}\cdot{\bf F}}\right)\times {\bf F} \\ & = \dfrac{\left({\bf F} \times {\bf \tau}\right)\times {\bf F}}{{\bf F}\cdot{\bf F}} \\ & =- \dfrac{{\bf F}\times \left({\bf F} \times {\bf \tau}\right)}{{\bf F}\cdot{\bf F}} \\ & = - \dfrac{{\bf F} ({\bf F}\cdot{\bf \tau})-{\bf \tau} ( {\bf F}\cdot{\bf F})}{{\bf F}\cdot{\bf F}} \\ & = {\bf \tau} \end{aligned} $$ Desde ${\bf F}\cdot{\bf \tau}=0$

Ver más detalles en esta respuesta http://physics.stackexchange.com/a/70445/392. Cada carga se define un tornillo del eje y los tornillos se pueden combinar linealmente (además de dos tornillos es un tornillo, y un escalar veces un tornillo es un tornillo). De la resultante de tornillo se puede extraer de su dirección $\vec{e} = \frac{\bf F}{\| {\bf F}\|}$, $\vec{r} = \frac{{\bf F}\times{\bf \tau}}{{\bf F}\cdot{\bf F}}$ y su tono $h=\frac{{\bf F}\cdot{\bf \tau}}{{\bf F}\cdot{\bf F}}$.

Answer 2

Permítanme presentarles a la notación

$$\sum F_{i,x} = F_x, \ \ \ \sum F_{i,y} = F_y, \ \ \ \sum F_{i,z} = F_z, \tag{i}$$

Desde el determinante es cero, no puede ser, de hecho, no es una solución del sistema. Pero si el sistema de ecuaciones tiene una solución, recordemos que el cuerpo no gira alrededor de un punto, pero alrededor de un eje. Así, su $\vec r$ está destinada a ser en una dirección perpendicular a la fuerza resultante $\vec F$ y en el eje de rotación. Una dirección en el espacio puede ser descrito por un simple sistema de ecuaciones, por ejemplo,

$$\begin{cases} {y = a x + b} \\ {z = a' x + b'} \end{cases}. \tag{ii}$$

Ahora, por simplicidad vamos a presentar a uno más de la notación

$$\begin{cases} {\sum (r_{i,y}F_{i,z}-r_{i,z}F_{i,y}) = \tau_x} \\ {\sum (r_{i,z}F_{i,x}-r_{i,x}F_{i,z}) = \tau_y} \\ {\sum (r_{i,x}F_{i,y}-r_{i,y}F_{i,x}) = \tau_z} \end{cases}, \tag{iii}$$

A partir de su sistema de $(2)$ y el uso de las notaciones $\text {(i)}$ $\text {(iii)}$ se obtiene de tres ecuaciones, dos de los cuales de la forma $\text {(ii)}$.

Así, para este sistema de ecuaciones tiene una solución, entre las constantes $\tau_x, \tau_y, \tau_z$ tiene que ser lineal y homogénea de la relación. A partir de ahora el trabajo es tuyo. Encontrar la relación.