R-cuadrado: X "explica" el porcentaje de variación de los valores de Y. ¿Importa el orden de los ejes?

Question

Resumen : ¿Estoy correlacionando dos variables independientes? ¿Es ese el problema?

Digamos que tengo los datos de los metros cuadrados de una casa y el precio de venta. Ahora puedo preguntar: "¿Los metros cuadrados (x) determinan el precio (y)?". Esto es intuitivo y tiene sentido. El R-cuadrado acabaría diciendo "Los metros cuadrados explican el X% de la variación del precio". Hasta aquí, todo bien.

Pero, ¿y si quiero predecir los metros cuadrados a partir del precio? Eso parece válido. Ahora, me pregunto: "¿El precio (x) determina los metros cuadrados (y)?". Hasta ahora, parece que cualquiera de las dos puede funcionar como variable independiente o dependiente. Sin embargo, la redacción o la r-cuadrado parecen fuera de lugar. "El precio explica el X% de la variación de los metros cuadrados". ¿Eh? Los metros cuadrados no son una especie de variable multifactorial. Es más bien estática. Nada "explica" los metros cuadrados, simplemente son. ¿Entiendes lo que digo? Como si el precio sólo explica el x% de los metros cuadrados, ¿qué otra cosa podría explicar los metros cuadrados? Los metros cuadrados son simplemente metros cuadrados. No es como el precio, que puede estar determinado por muchas cosas (metros cuadrados, renovaciones, tamaño del patio, etc.).

Otro ejemplo puede ser la edad (x) y el kilometraje de un coche (y). Con una ecuación de regresión, puedo utilizar una para predecir la otra. Cualquier orden parece funcionar. Sin embargo, ¿la edad "explica" el kilometraje o el kilometraje "explica" la edad? En este caso, ambos parecen extraños. Ambas son variables independientes estáticas. Ninguna explica a la otra, en mi opinión.

¿Qué me falta aquí? Gracias.

Answer 1

Tu redacción está implicando causalidad, que no es lo que representa la R^2. "El precio (x) determina los metros cuadrados (y)" implica causalidad, que no es lo que se refleja en una correlación. "El precio explica el X% de la variación de los metros cuadrados" describe que existe una relación entre el precio y los metros cuadrados, pero no una relación causal. Esto sólo implica que estas variables varían juntas, no que el precio cause los metros cuadrados . Es más parecido a decir " En general, cuando el precio sube X cantidad, los metros cuadrados suben Y cantidad "

Answer 2

Editado con material añadido en respuesta a los comentarios de @whuber

Esta es una respuesta basada en la teoría de la probabilidad, no en estimaciones estadísticas, por lo que su kilometraje puede variar.

Si las variables aleatorias $X$ y $Y$ tienen un coeficiente de correlación $\rho$ entonces la estimación lineal del error mínimo cuadrático de $Y$ dado el valor de $X$ es $$\hat{Y} = \mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X),$$ y de forma similar, la estimación del error lineal mínimo cuadrático de $X$ dado el valor de $Y$ es $$\hat{X} = \mu_X + \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y).$$ Tenga en cuenta que $\hat{Y}$ y $\hat{X}$ son variables aleatorias que son funciones lineales de $X$ y $Y$ respectivamente. Sus medias son $$\begin{align*} \mu_{\hat{Y}} &=E[\hat{Y}] = E\left[\mu_Y+\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)\right] = \mu_Y+ \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}E[X - \mu_X] = \mu_Y\\ \mu_{\hat{X}} &= E[\hat{X}] = E\left[\mu_X+\rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)\right] = \mu_Y+ \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}E[Y - \mu_Y] = \mu_X \end{align*}$$ mientras que las desviaciones son $$\begin{align*} \sigma_{\hat{Y}}^2 &= E[(\hat{Y} - \mu_{\hat{Y}})^2] = \frac{\rho^2\sigma_Y^2}{\sigma_X^2}E[(X-\mu_X)^2] = \rho^2\sigma_Y^2\\ \sigma_{\hat{X}}^2 &= E[(\hat{X} - \mu_{\hat{X}})^2] = \frac{\rho^2\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}E[(Y-\mu_Y)^2] = \rho^2\sigma_X^2 \end{align*}$$ Por último, las varianzas de los residual errores $Y - \hat{Y}$ y $X - \hat{X}$ son $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$ y $\sigma_X^2(1-\rho^2)$ respectivamente. Se puede pensar en estos resultados como siguientes.

Si utilizamos la media $\mu_Y$ como estimación para $Y$ el error medio cuadrático es $\sigma_Y^2$ pero si conocemos el valor de $X$ y utilizar $\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)$ como la estimación de $Y$ el error medio cuadrático se reduce a $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$ .

Si utilizamos la media $\mu_X$ como estimación para $X$ el error medio cuadrático es $\sigma_X^2$ pero si conocemos el valor de $Y$ y utilizar $\mu_X + \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)$ como la estimación de $X$ el error medio cuadrático se reduce a $\sigma_X^2(1-\rho^2)$ .

En ambos casos, el error cuadrático medio se reduce por el misma fracción $(1-\rho^2)$ .

---

En términos de gráficos de dispersión (para variables aleatorias discretas o datos) en un plano con ejes de coordenadas $x$ y $y$ , tenemos dos líneas rectas $$ \begin{align*} y &= \mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X),\\ x &= \mu_X + \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(y - \mu_Y), \end{align*} $$ de diferentes pendientes $\rho\sigma_Y/\sigma_X$ y $\sigma_Y/\rho\sigma_X$ pasando por el punto medio $(\mu_X,\mu_Y)$ . La razón de las diferentes pendientes es que estamos eligiendo la pendiente para minimizar la suma de los cuadrados de los vertical distancias de los puntos a la línea en el primer caso, y minimizar la suma de los cuadrados de las distancias horizontales de los puntos de la línea en el segundo caso. Estas sumas de distancias al cuadrado son $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$ y $\sigma_X^2(1-\rho^2)$ respectivamente.

Como ejemplo sencillo, supongamos que $(X,Y)$ asume los valores $(0,0)$ , $(0,1)$ y $(1,1)$ con igual probabilidad $\frac{1}{3}$ cada uno o tenemos un gráfico de dispersión con estos tres puntos. Uno puede moler a través de los cálculos si se desea, pero debería ser intuitivamente obvio que debemos estimar $Y$ como $\frac{1}{2}$ si $X = 0$ y como $1$ si $X = 1$ mientras que deberíamos estimar $X$ como $0$ si $Y = 0$ y como $\frac{1}{2}$ si $Y = 1$ es decir, las dos líneas tienen diferentes pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ (de hecho, pendientes recíprocas ya que $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \frac{2}{9}$ en este ejemplo). Esto es lo que da la teoría la teoría de la probabilidad. Pero si se tratan los tres puntos como una pequeña muestra de de una población desconocida y se utiliza estimaciones de la población medias, varianzas y coeficiente de correlación, entonces sus resultados pueden ser diferentes.

Answer 3

Su ejemplo puede ser legítimo en el sentido contrario. ¿Por qué no estimar los metros cuadrados a partir del precio? Supongamos que los datos de los precios son públicos, pero los metros cuadrados no. Sin embargo, usted quiere estimar los metros cuadrados (para determinar el mercado de las alfombras o los muebles, el coste probable de la calefacción o lo que sea). Es perfectamente válido modelar los metros cuadrados en función del precio.

En mi opinión, te estás liando con la semántica de las variables "independiente" y "dependiente". Es mejor utilizar "predictor" y "predicho".