¿Cómo puedo encontrar la Integral de $\sqrt{r^2-x^2}$?

Question

¿Cómo puedo encontrar la integral de la siguiente función usando coordenadas polares?

ps

¡Gracias!

Answer 1

ya que $y=r\sin { \theta } .\\ x=r\cos { \theta } $

ps

Answer 2

Sería de gran ayuda para saber lo que sabes, así que no puedo dar una respuesta informada. Ya no lo hago, voy a tratar de adivinar su nivel. También, sería de ayuda si desea especificar lo que se desea integrar. Estás tratando de calcular una integral indefinida o definitiva sobre todos los de $\mathbb{R}$?

Definitiva integral sobre todos los $\mathbb{R}$ en coordenadas polares se desarrolla de la siguiente forma:

$$\int_{x=-\infty}^{\infty} f(x)dx = -\int_{r=0}^{\infty} \int_{\theta= 0}^{2\pi}f(r,\theta)r sin(\theta) d\theta dr.$$

Su función es$f (r, x) = \sqrt{r^2-x^2}$, pero necesita $f(r, \theta)$, no $f(r, x)$ a ser capaz de integrar en coordenadas polares. El común de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares va como sigue:

$$x= r \cos\theta, \\y =r\sin\theta.$$

Si usted no está familiarizado con lo que he dicho hasta ahora, verifique lo siguiente: http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html

Tan lejos y tan bien, tenemos que pasar de la $f(r, x)$ $f(r, \theta)$y podemos hacerlo a través de la $f(r, \theta) = f(r, x(\theta))$, es decir, sustituimos en la definición de la coordenada de cambio $x = r cos \theta$ y obtener: $$f(r, \theta) = \sqrt{r^2-(r \cos\theta)^2}= \sqrt{r^2 - r^2 \cos^2(\theta)} = \sqrt{r^2(1-\cos^2(\theta))} = r \sqrt{\sin^2(\theta)}$$

Se puede tomar de aquí y hacer la integral anterior ahora?

Answer 3

Usando la sustitución$x=r\cos{\theta}$ tenemos$dx = -r\sin{\theta}\;d{\theta},$ por lo tanto $$ \ int \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \; dx = - \ int \ sqrt {r ^ 2-r ^ 2 \ cos ^ 2 {\ theta}} \ cdot r \ sin {\ theta} \; d {\ theta} = \\ = -r ^ 2 \ int | \ sin {\ theta} | \ cdot \ sin {\ theta} \ ; d {\ theta} = \begin{cases} -r^2\int \sin^2{\theta}\;d{\theta} \ \ \text{if} \ \ \sin{\theta}>0, \\ r^2\int \sin^2{\theta}\;d{\theta} \ \ \text{if} \ \ \sin{\theta}<0. \end {cases} $$ A continuación, reduzca el grado por la identidad$\sin^2{\theta}=\frac{1-\cos{2{\theta}}}{2} $ e integrelo.

Answer 4

$\displaystyle\int \sqrt{r^2-x^2}dx$

Let Be$\;x=r.\sin\alpha$ o$\quad x=r.\cos\alpha$,

Permitir $\;x=r.\sin\alpha$,

y$\quad dx=r.\cos \alpha \;d\alpha$

Integral,

$\displaystyle\int \sqrt{r^2-x^2}dx=\displaystyle\int r.\sqrt{1-\sin^2\alpha}\;.r.\cos \alpha \;d\alpha=\displaystyle\int r^2.\cos^2\alpha\; d\alpha$

Y usa esta ecuación,$\quad \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\longrightarrow \cos^2\alpha=\dfrac{\cos 2\alpha+1}{2}$ Luego,

$=\displaystyle\int r^2.\cos^2\alpha\; d\alpha=\displaystyle\int r^2.\dfrac{\cos 2\alpha+1}{2}\; d\alpha=\dfrac{r^2}{2}\left[\dfrac{\sin2\alpha}{2}+\alpha\right]+C$

De aquí ,

$\boxed{\;x=r.\sin\alpha}$

La respuesta será,

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int \sqrt{r^2-x^2}dx=\dfrac{r^2}{2}\left[\dfrac{\sin2\alpha}{2}+\alpha\right]+C=\dfrac{r^2}{2}\left[\dfrac{2x\sqrt{r^2-x^2}}{r^2}+\arcsin\left(\dfrac{x}{r}\right)\right]}}$