¿Cómo demostrar que End(R) es isomorfo a R?

Question

Intenté demostrarlo: $R$ como anillo es isomorfo a $End(R)$ donde $R$ se considera una izquierda $R$ -módulo. El mapa de isomorfismo es
$$F:R\to End(R), \quad F(r)=fr,$$ donde $fr(a)=ar$ . Y defino la multiplicación en $End(R)$ por $(.)$ donde $h.g=g\circ h$ pour $g,h$ sur $End(R)$ .

¿Es cierto?

Answer 1

Es cierto: $a\mapsto ar$ es un homomorfismo de módulo izquierdo.

Si llamamos a este mapa $a\mapsto ar$ por $\theta_r$ entonces $\theta:R\to End(_RR)$ .

1. Compruebe que es aditivo.

2. Comprueba que es multiplicativo. (Usted necesitará absolutamente su regla que $f\circ g=g\cdot f$ . En $\cdot$ operación que has dado es la multiplicación en $(End(R))^{op}$ )

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Si en cambio intenta demostrar que $R\cong End(R_R)$ del mismo modo (con $\theta_r$ que indica $a\mapsto ra$ ), tendrá más suerte. ¿En qué se diferencian los dos casos?

Answer 2

Con su definición de multiplicación en $\def\End{\operatorname{End}}\End(R)$ el mapa es efectivamente un isomorfismo.

Vayamos despacio. Definimos, para $r\in R$ ,

$$ F(r)\colon R\to R,\quad x\mapsto xr $$ Probablemente sea mejor utilizar $F_r$ en lugar de $F(r)$ Así que $$ F_r(x)=xr $$ Está claro que $F_r$ es un $R$ -homomorfismo de módulo; también $$ F_r+F_s=F_{r+s} $$ es una verificación trivial.

Veamos qué ocurre con $F_{rs}$ :

$$ F_{rs}(x)=x(rs)=(xr)s=F_s(xr)=F_s\circ F_r(x) $$ para todos $x\in R$ Por lo tanto $$ F_{rs}=F_s\circ F_r = F_r\cdot F_s $$

Hemos demostrado que $F\colon R\to\End(R)$ es un homomorfismo de anillo, ya que $F_1$ es claramente la identidad.

¿Es un isomorfismo? Si $F_r$ es el mapa cero, entonces $F_r(1)=0$ Así que $0=r1=r$ . Así $F$ es inyectiva.

Si $f\colon R\to R$ es un homomorfismo de módulo, conjunto $r=f(1)$ . Entonces

$$ F_r(x)=xr=xf(1)=f(x1)=f(x) $$ Podemos empujar $x$ en $f$ porque $f$ es un homomorfismo.

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Una convención común en teoría de módulos es escribir morfismos de módulos de izquierda a derecha, pero componiéndolos "como están escritos": así, si $f\colon L\to M$ y $g\colon M\to N$ son homomorfismos de módulo de izquierda, su composición es $$ f\bullet g\colon L\to N,\quad (x)f\bullet g=((x)f)g $$

Con esta convención, su mapa $F$ se convierte en un isomorfismo entre $R$ y $\End(R)$ sin cambiar la operación en $\End(R)$ es lo mismo, en realidad, pero los cálculos son más sencillos.

Answer 3

Pista: Que $F\in End(R)$ . Ponga $a:=F(1)$ demuestre que $F(x)=xa, \forall x\in R$ .