Tengo este límite, y no tengo idea de cómo abordarlo: $$\lim_{n \rightarrow + \infty } \left(\frac{n^3}{4n-7}\right)\left(\cos\left(\frac1n\right)-1\right)$$ resulta ser de forma indeterminada, ¿cómo resolverlo?
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$$\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(1/n)-1}{\frac{4n-7}{n^3}}\;,$$
sea $x=\frac{1}{n}$
$$\lim_{x\to0}\;\frac{\cos(x)-1}{4x^2-7x^3}$$
Aplicando la regla de L'Hôpital
$$\lim_{x\to0}\;\frac{-\sin(x)}{8x-21x^2}$$
Aplicando la regla de L'Hôpital nuevamente
$$\lim_{x\to0}\;\frac{-\cos(x)}{8-42x} =\frac{-1}{8}$$
DiGi
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Cuando tienes una forma indeterminada de $\infty\cdot0$, el truco estándar es convertirla en una forma de $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac00$ desplazando uno de los factores al denominador. Aquí, por ejemplo, podrías intentar reescribir el límite como
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(1/n)-1}{\frac{4n-7}{n^3}}\;,$$
ya que $\frac1{\cos(1/n)-1}$ no parece ser algo muy agradable de tener en el denominador. Esta es una forma genuina de $\frac00$, por lo que se aplica la regla de l'Hôpital. (Puedes tener que aplicarla más de una vez).
Prasad G
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freespace
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$$\lim_{n\to\infty } \frac{n^3}{4n-7} \cos\left(\frac1n-1\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{4n-7} \frac{\cos\left(\frac1n-1\right)}{\frac1{n^2}}$$
Tal vez hayas memorizado que $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$, si no, puedes obtener estos límites aplicando la regla de L'Hospital dos veces. Para $n\to\infty$ tenemos $\frac1n\to 0$, así que $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\cos\left(\frac1n-1\right)}{\frac1{n^2}} = -\frac12.$$
El otro límite $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{4n-7}$ debería ser fácil.
Oli
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Si tienes algún conocimiento previo de series de potencias, el enfoque siguiente puede resultar interesante. Se basa en el hecho de que una serie de potencias $\sum a_n(x-b)^n$ para $f(x)$ suele dar una muy buena indicación del comportamiento de $f(x)$ cerca de $x=b.
Es conveniente, pero no necesario, dejar que $x=1/n$. Recuerda que la serie de MacLaurin para $\cos x$ está dada por $$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots.$$ Así que $$\cos x-1=-\frac{x^2}{2!}+O(x^4).$$ Observa que $$\frac{n^3}{4n-7}=\frac{1}{x^2}\frac{1}{4-7x}.$$ Por lo tanto, nuestro producto es $$\frac{1}{4-7x}\left(-\frac{1}{2!}+O(x^2)\right).$$ Finalmente, deja que $x\to 0^+$. El término $\frac{1}{4-7x}$ se aproxima a $\frac{1}{4}$ y el término $O(x^2)$ se aproxima a $0.
Agregado: También podemos utilizar la siguiente idea de cálculo temprano, que de hecho no está lejos del método utilizado por Prasad G. Estamos interesados en $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x -1}{4x^2-7x^3}.$$ Multiplica arriba y abajo por $\cos x+1$, observando que entonces arriba se convierte en $\cos^2 x-1$, que es $-\sin^2 x$. Así que queremos
$$\lim_{x\to 0}\:\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\frac{-1}{(4-7x)(\cos x+1)}.$$ Deja que $x\to 0$, y utiliza el hecho de que $\frac{\sin x}{x}\to 0$ cuando $x\to 0.
