Versión euclídea de Pappus ' teorema s

Question

Estoy pasando por Hartshorne de la Geometría, y uno de los ejercicios que ha dejado perplejos a mí por un buen par de horas. El problema es una versión de uno de Vilano de teoremas:

Vamos $A$, $B$, $C$, ser los puntos en una línea de $l$, y vamos a $A'$, $B'$, $C'$ ser los puntos en una línea de $m$. Suponga $AC'\parallel A'C$$B'C\parallel BC'$. Mostrar que $AB'\parallel A'B$.

Una sugerencia es dado para dibujar un círculo a través de $A$, $B'$, $C'$ reunión de $l$$D$, y para el uso cíclico de los cuadriláteros.

He incluido una foto para mayor claridad:

A la derecha, he dibujado las líneas de $DB'$$DC'$. Desde el cuadrilátero cíclico, $ADB'C'$, puedo ver que $\angle B'AC'\cong\angle B'DC'$, ya que están en la misma circunferencia. Yo llamo a este ángulo de $\gamma$. Del mismo modo, $\angle C'B'D\cong\angle C'AD$. Esto me permitió demostrar que $\triangle AEC,\triangle CFB,\triangle B'C'E,\triangle C'A'F$ son todos similares. He intentado mostrar a $\triangle AEB'$ $\triangle A'FB$ son similares, pero no tuvo éxito.

Mi estrategia era mostrar que la $\angle BA'C=\gamma$, y esto sería suficiente para mostrar $AB'\parallel BA'$ desde $AC'\parallel CA'$, pero todavía no he conseguido. Tal vez alguien ve la manera de acabar con este teorema? Gracias por su ayuda.

Answer 1

No estoy seguro de lo Hartshorne tiene en mente, pero Vilano teorema es una simple consecuencia de la similitud de los Euclidiana triángulos (en forma de interceptar teorema) y no hay necesidad de introducir el círculo:

Deje $P$ ser el punto de intersección de las $l$$m$. Todo lo que necesitamos hacer es mostrar que $\frac{PA'}{PB} = \frac{PB'}{PA}$.

Pero por supuesto tenemos $\frac{PA'}{PC} = \frac{PC'}{PA}$$\frac{PC}{PB} = \frac{PB'}{PC'}$. La multiplicación de la mano izquierda lados y la mano derecha lados juntos, podemos conseguir lo que queremos.

Answer 2

Sin mirar en demasiado detalle, tengo la sospecha de que no se hayan utilizado la propiedad de los cuadriláteros cíclicos que los ángulos opuestos son suplementarios. Por ejemplo, considerando el cuadrilátero cíclico $ADB'C'$, $\angle B'AD$ y $\angle B'C'D$ son complementarios, por lo $\angle B'AD\cong\angle DC'A'$.

Como otra sugerencia, aunque yo no ver de inmediato cómo demostrarlo, el círculo a través de $A$, $B'$, y $C'$, el círculo a través de $A'$, $B$, y $C'$, y el círculo a través de $A'$, $B'$, y $C$ todos pasan por el mismo punto de $D$.