Demostrar

Question

En cualquier triángulo,$ABC $ prueba que$$b^{2} (\cot A + \cot B) = c^{2}(\cot A + \cot C)$ $ Cómo podemos probar esta identidad trigonométrica. Intenté de muchas maneras y utilicé la otra identidad conocida, pero no funcionó. Mi pregunta es cómo podemos probar esta identidad trigonométrica. Cualquier pista ayudará Gracias.

Answer 1

Tenemos $$ \ cot A + \ cot B = \ frac {\ cos A} {\ sen A} + \ frac {\ cos B} {\ sen B} = \ frac {\ cos A \ sen B + \ sin A \ cos B} {\ sen A \ sin B} $$

Ahora, al usar la fórmula$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\,\,\,\,$ y$\,\,\,\,\sin C=\sin (\pi-C)$ obtenemos

ps

De manera similar obtenemos

ps

Para probar que$$b^2(\cot A+\cot B)=\frac{b^2\sin (A+B)}{\sin A\sin B}=\frac{b^2\sin C}{\sin A\sin B}...(1)$ y$$c^2(\cot A+\cot C)=\frac{c^2\sin B}{\sin A\sin C}...(2)$ son iguales, será suficiente probar:$(1)$ $ que es equivalente a$(2)$ $

Y la última igualdad se cumple debido a la Ley Sine.

Answer 2

Hay una buena prueba de esta identidad trig.

Aviso, en derecho $\triangle ABC$ $(A+B+C=180^\circ)$ sabemos de seno regla $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k$ $$$\implies \ a=k\sin A, \ b=k\sin B, \ c=k\sin C, $ $Now, tenemos $$LHS=b^2(\cot A+\cot B)$ $$$=(k\sin B)^2\left(\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}\right)$ $$$=k^2\sin^2B \left(\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\sin A\sin B}\right)$ $$$=k^2 \frac{\sin B\sin (A+B)}{\sin A}$ $$$=k^2 \frac{\sin (180^\circ-(A+C))\sin (180^\circ-C)}{\sin A}$ $$$=k^2 \frac{\sin (A+C)\sin C}{\sin A}$ $

$$=k^2\sin^2 C \left(\frac{\sin A\cos C+\cos A\sin C}{\sin A\sin C}\right)$ $ $$=(k\sin C)^2 \left(\frac{\cos C}{\sin C}+\frac{\cos A}{\sin A}\right)$ $ Ajuste el valor $k\sin C=c$ de 1 $$=\color{}{(c)^2(\cot C+\cot A)}$ $ $$LHS=\color{red}{c^2(\cot A+\cot C)}=RHS$ $

Answer 3

Aquí es un trigonograph no obtuso $B$ y $C$:

$$|\overline{AB}||\overline{ED}| = |\square AEDF| = |\overline{AC}||\overline{FD}| \quad\to\quad c^2\,\left(\, \cot A + \cot C \,\right) = b^2\,\left(\,\cot A + \cot B\,\right)$$