Automorfismo que es una Involución de un grupo finito

Question

Estoy estudiando para un final y estoy tratando de resolver este problema: Sea $G$ sea un grupo finito con un automorfismo $\sigma:G\rightarrow G$ tal que $\sigma \circ \sigma=1$ y cuyo único punto fijo es el elemento identidad. Quiero demostrar que $G$ es abeliano y tiene orden impar.

Para mostrar $G$ es abeliano, ya que $\sigma \circ \sigma(xy)=xy$ , demostrando que $xy=yx$ es lo mismo que mostrar $\sigma \circ \sigma(xy)=\sigma \circ \sigma(yx)$ . Desde $\sigma \circ \sigma(xy)=\sigma(\sigma(x)\sigma(y))$ queremos mostrar $\sigma(\sigma(x)\sigma(y))=\sigma(\sigma(y)\sigma(x))$ por lo que basta con demostrar que $\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x)$ pero tengo problemas para entender los detalles.

Para demostrar que $G$ tiene orden de impar, estoy tratando de demostrarlo por contradicción y asumiendo que $G$ es par. Si $G$ es par, entonces tiene al menos un elemento $y$ de orden 2, pero usando esto, no he podido conseguir una contradicción.

Answer 1

El mapa $x^{-1}\sigma(x)$ es inyectiva, prueba: supongamos que $x^{-1}\sigma(x)=y^{-1}\sigma(y)$ entonces $yx^{-1}=\sigma(y)\sigma(x)^{-1}=\sigma(yx^{-1})\implies yx^{-1}=e\implies y=x$ ya que no hay puntos fijos además de $e$ . ya que $G$ es finito y $x^{-1}\sigma(x)$ es inyectiva también es sobreyectiva.

por lo que podemos escribir cada elemento de $G$ en la forma $x^{-1}\sigma(x)$ . Toma $g$ en $G$ se puede escribir como $x^{-1}\sigma(x)$ . así $\sigma(g)=\sigma(x)^{-1}x$ . Obsérvese la multiplicación de $g$ con $\sigma(g)$ nos da $e$ . concluimos $\sigma(g)=g^{-1}$

Ahora están claras dos cosas:

• $G$ no puede ser ni siquiera para si donde tendría un elemento de orden $2$ que se asignaría a sí mismo bajo $\sigma$ ya que es su propia inversa.
• $G$ es abeliano, pues $\sigma(gh)=g^{-1}h^{-1}$ desde $\sigma$ es el homomorfismo, pero $\sigma(gh)=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ . así $g^{-1}h^{-1}=h^{-1}g^{-1}\implies hg=gh$ (sólo hay que tomar los inversos de ambos lados).

Answer 2

Para la segunda parte, hay que tener en cuenta que los elementos $x\in G$ con $x\ne e$ puede ser emparejado $\{x, \sigma(x)\}$ . Si hay $k$ tales pares, entonces hay $2k+1$ elementos en $G$ .

En general, dada una involución $\sigma$ en un grupo finito $G$ la paridad de $|G|$ es igual a la paridad del número de puntos fijos de $\sigma$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $ \sigma \circ \sigma =\iota,$ se da el automorfismo de identidad. Así, para todo $g\in G,$ tenemos $$g=\sigma ^2 (g)=\sigma(\sigma(g)). $$ Desde $\sigma $ es un automorfismo , $\sigma ^{-1}$ existe y es un homomorfismo. Por lo tanto, $\sigma ^{-1}(g)=\sigma^{-1}(\sigma(\sigma(g)))=\sigma(g).$ Porque $\sigma$ es un homomorfismo, un ejercicio elemental muestra que $\sigma ^{-1}(g)=\sigma (g^{-1}).$ Entonces tenemos $\sigma (g^{-1}h^{-1})=\sigma(g^{-1})\sigma(h^{-1})=\sigma (g)\sigma(h)=\sigma((hg)^{-1})=\sigma(hg).$ Pero esto produce la igualdad $\sigma(hg)=\sigma(gh)$ que a su vez produce $hg=gh$ al aplicar $\sigma ^{-1}$ ambos lados. Como el único punto fijo del automorfismo es $1,$ para los no triviales $g, g$ y $\sigma (g)$ son diferentes así que $$G=\cup _{ g \in G\setminus {1}}\{g, \sigma(g)\} \cup \{1\}$$ dando $|G|=2|G\setminus \{1\}|+1$ que es impar .