¿El mapa de inclusión es siempre suave?

Question

Esta puede ser una pregunta muy tonta. Pero estoy bastante confundido.

Si $M$ es un colector liso, y $A\subset M$ es un submanifold, entonces es el mapa de inclusión $i:A\longrightarrow M$ ¿suave?

Mi opinión es que podría no ser suave. Porque las estructuras del colector podrían no ser compatibles. Pero no soy capaz de decir esto con precisión. Estaré encantado si alguien me ayuda.

Answer 1

Como se explica en los comentarios, la suavidad está garantizada por la definición de submanifold. La preocupación de que "las estructuras de los manifolds podrían no ser compatibles" es razonable, pero los submanifolds se definen de forma que la compatibilidad se mantenga. He aquí un ejemplo que no lo es: dejemos que $M$ sea la curva $y=|x|$ en el plano, considerado como la imagen de $\mathbb R$ en $f(x) = (x,|x|)$ . Podemos hacer $M$ un colector liso declarando $f$ un difeomorfismo. Ahora $f:\mathbb R\to M$ es suave pero $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ no lo es; las estructuras lisas no son compatibles. Pero por supuesto, $M$ no es un submanifold de $\mathbb R^2$ aquí.

El definición que tiene (que es la definición de un submanifold inmerso ) tiene incorporada la suavidad del mapa de inclusión.