Encontrar la derivada usando $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Question

Así que estoy aprendiendo a diferenciar ahora, y me encontré con este problema $$f(x)=\frac{1-x}{2+x}$$ Somos quería encontrar a $f'(x)$.

Cuando utilizo $$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Me parece que $f'(x)=\frac{-3}{(2+x)^2}$ pero, cuando trato de encontrar las $f'(x)$ la manera más fácil. yo.e $\frac{d}{dx}x^=nx^{n-1}$. No puedo hacerlo por alguna razón. No es posible utilizar que los derivados de la propiedad cuando se trata con los cocientes? Sé que podemos utilizar es el polinomio de la suma, la resta y la multiplicación, pero estoy luchando con los cocientes. Por favor alguien puede explicar qué es lo que no estoy viendo?

Mi Intento: $$\frac{d}{dx}\frac{1-x}{2+x}=\frac{d}{dx}(1-x)(2+x)^{-1}=(1)(-1)(2+x)^{-2}$$ Lo cual es evidentemente falso, así que por favor alguien puede romper este para mí.:)

Answer 1

Para aplicar la derivada como así, tienes que aprender una cosa que se llama la regla del producto o el cociente de la regla. Para evitar esto, podemos proceder de la siguiente manera:

$$\frac{1-x}{2+x}=\frac{3-(2+x)}{2+x}=\frac3{2+x}-1$$

La derivada de una constante es cero, por lo tanto sólo tenemos que mirar

$$\frac3{2+x}=3(2+x)^{-1}\stackrel{d/dx}\to-3(2+x)^{-2}$$

Sin embargo, tenga cuidado de que

$$\frac d{dx}(1+2x)^{-1}\ne-(1+2x)^{-2}$$

Ya que no es de la forma $(c+x)^n$. Poder de disposición de las obras en concreto, por ahora, para los derivados de la forma siguiente:

$$\frac d{dx}(c+x)^n=n(c+x)^{n-1}$$

Donde $x$ es positiva con un coeficiente de uno.

Answer 2

Usted puede probar esto

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}(-1+\frac{3}{2+x}) = 3\frac{d}{dx}(2+x)^{-1} = \frac{-3}{(x+2)^2}$

Answer 3

Podría haber un error pensar que acechan aquí. Tal vez no. En cualquier caso, espero que esto ayude.

Sí, por todos los medios, el límite de la definición de la derivada es $$ f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

¿Quieres un derivado de la arbitraria (portado bien) función? Decir $x^2-3x$ o $\sin x$ o $e^x$? Entonces, claro, el límite anterior se dará la derivada. Al menos, eso es cierto en teoría. Usted probablemente ha demostrado esto por polinomios en $x$, pero el límite está más involucrado para otras funciones, y puede requerir una buena cantidad de análisis.

De todos modos, la próxima citar a la "fácil" método de la derivada,

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

Esta no es la derivada de cualquier función, aunque. Se trata específicamente de la regla para la potencia de las leyes. Es decir, que sólo funciona para las funciones de la forma $x^n$. No va a funcionar, en general, para funciones racionales. Como los otros han respondido, sin embargo, usted podría ser capaz de utilizar el poder de la ley con funciones racionales después de polinómica de la división.

Answer 4

Usted tendrá que aplicar la regla del cociente. Sea la función entera denota $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, el numerador de su fracción de ser $f(x)$ y el denominador ser $g(x)$. Entonces la derivada de la función se puede encontrar la forumla siguiente: $$h'(x)=\frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{(g(x)^2}$$. Note that you can compute the derivative of $ f(x)$ and $g(x)$ individualmente usando el método de han descrito anteriormente y simplemente pueden llevar los resultados a la ecuación.