Problema recurrente sobre polinomios

Question

Es una secuencia de polinomios $P_n$, definido como sigue: $P0(x)=0, P{n+1}(x) = P_n(x) + \frac{x-P_n^2(x)}{2}. $, n = 0,1,2,..., y x es real.

Demostrando que para todos números enteros no negativos n y x en [0; 1], esto es:

$0\leq \sqrt(x)-P_n(x) \leq \frac{2}{n+1} . $.

Revisé para pequeños casos n = 0, 1, 2 la hipótesis y resulta verdadero fot todo x en [0; 1]! Pero, ¿cómo procedemos? ¿Configuración de alguna repetición? Trató de inducción, pero no puede encontrar lazos.

Answer 1

en primer lugar demostrar mano derecha:

$$a{n}=\sqrt{x}-P{n}(x)$ $ no tenemos $$a{n+1}(x)=a{n}(x)\left[1-\dfrac{\sqrt{x}+P{n}(x)} {2} \right] \le a {n} (x)\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right), x\in [0,1] $$ tanto $$ a {n} (x) \le a {0} \left (1-\dfrac {\sqrt {x}} {2} \right) ^ n = \sqrt {x} \left (1-\dfrac {\ sqrt {x}} {2} \right) ^ n$ $ Nota $$g(t)=t\left(1-\dfrac{t}{2}\right)^n\le\dfrac{2}{n+1}$ $ porque dejamos $$f(x)=\ln{x}+n\ln{(1-\dfrac{x}{2})}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{n}{x-2}=0$ $ $$x=\dfrac{2}{n+1}$ $ así $$g(t)=t(1-\dfrac{t}{2})^n\le t=\dfrac{2}{n+1},0<t tenemos="">y queda claro

</t>