10 a la potencia de 3,5: $10^{3.5}$

Question

Así que $10^3 = 10\times 10\times 10 = 1000$ Esto es muy fácil de entender.

Pero qué pasa con: $\,10^{3.5}\,?\,$ Mi lógica sugeriría que esto era

$10\times 10 \times 10\times 5 = 5000,\;$ pero la calculadora dice que es 3162.27...

¿Puede alguien ilustrar cómo la calculadora calcula la potencia cuando el número es con decimales?

Por favor, tenga en cuenta que soy un novato en matemáticas.

Answer 1

Con $10^{0.5}$ hay que hacer una "media multiplicación", no una multiplicación por la mitad. Lo que es esta "multiplicación por la mitad" no se desprende de ninguna ley universal, sino sólo al extender de forma coherente las reglas válidas para los exponentes enteros.

Ya que, para los enteros $m$ y $n$ tienes $$ a^{m+n}=a^m\cdot a^n $$ se puede derivar también que $$ (a^m)^n=a^{mn} $$ (sólo hay que repetir las multiplicaciones y contar los factores). Entonces, ¿qué $a^{3.5}$ debe significar? Bueno, una posible opción viene de hacer $$ a^7=a^{3.5\cdot 2}\overset{*}{=}(a^{3.5})^2 $$ donde el signo de igualdad marcado con $*$ es donde aplicamos una extensión de la regla anterior.

Así, se puede intentar definir $$ a^{3.5}=\sqrt{a^7}. $$

Así es como se define realmente la exponenciación a un racional: $$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p} $$ y se puede demostrar que las reglas

$$ a^{x+y}=a^x\cdot a^y,\qquad (a^x)^y=a^{xy} $$ siguen siendo válidos para todos los números racionales $x$ y $y$ (y positivo $a$ ).

Answer 2

Hay varias formas de hacerlo. La mayoría de ellas ya han sido tratadas en una serie de posts en StackOverflow, Quora y otros sitios web de contenido.

En resumen, la mayoría de las técnicas enumeradas pueden agruparse en dos clases de soluciones, a saber

1. Transformaciones
2. Inherente Propiedad de la red

En las transformaciones, se pueden buscar técnicas como

• Redimensionar que es la más sencilla de todas las técnicas mencionadas
• Cultivo que puede realizarse como una ventana deslizante o un cultivo único con pérdida de información

También se pueden buscar redes que tengan la propiedad inherente de ser inmunes al tamaño de la entrada en virtud del comportamiento de las capas que construyen la red. Se pueden encontrar ejemplos de esto en términos de,

• Redes totalmente convolucionales (FCN) que no tienen ninguna limitación en cuanto al tamaño de la entrada, ya que una vez descritos los tamaños del núcleo y de los pasos, la convolución en cada capa puede generar salidas de dimensiones adecuadas según las entradas correspondientes.

• Agrupación de pirámides espaciales (SPP) Los FCNs no tienen una capa densa completamente conectada y por lo tanto son agnósticos al tamaño de la imagen, pero digamos que si uno quisiera usar la capa densa sin considerar las transformaciones de entrada, entonces hay un interesante papel que explica la capa en una red de aprendizaje profundo.

Referencias:

1. https://www.quora.com/How-are-variably-shaped-and-sized-images-given-inputs-to-convoluted-neural-networks
2. https://ai.stackexchange.com/questions/2008/how-can-neural-networks-deal-with-varying-input-sizes
3. https://discuss.pytorch.org/t/how-to-create-convnet-for-variable-size-input-dimension-images/1906

P.D. Puede que me haya olvidado de citar algunas técnicas. No pretendo que sea una lista exhaustiva.

Answer 3

$10^{3.5}$ es igual a $10*10*10*10^{0.5}$ . Así que sólo hay que saber qué $10^{0.5}$ es.

Una de las propiedades del exponente es ésta.

$(10^x)^y = 10^{xy}$ , es decir, la potencia de una potencia, no es más que los exponentes multiplicados.

Así que si $(10^{0.5})^2=x^2=10^1$ cuando $x=10^{0.5}$ entonces simplemente resolvemos para $x^2 = 10$ .

No estoy seguro de que hayas aprendido sobre las raíces cuadradas, pero $x=\sqrt{10}$ .

Desde $\sqrt{10}$ es aproximadamente igual a 3,16227, su calculadora le da $10^{3.5} = 3162.27...$ .

Answer 4

Su error es la computación $10^\frac{6}{2} \cdot \frac{10}{2}$ en lugar de $10^\frac{6}{2} \cdot 10^\frac{1}{2}$ . Aunque el 5 es la mitad de la decena cuando se trabaja con la suma, es más de la mitad de la decena cuando se trabaja con la multiplicación.

$10^{3.5}$ equivale a $10^\frac{7}{2}$ . Puede realizar las partes '7' y 'sobre 2' de la exponenciación por separado. Es decir: $10^\frac{7}{2} = (10^7)^\frac{1}{2}$ . Eso es sólo $\sqrt{10^7}$ que puede reducirse a $10^3 \sqrt{10}$ que es aproximadamente $3163.3$ .

Answer 5

N.S. tiene toda la razón; $10^.5 = \sqrt{10}$ .

Por un pequeño razonamiento detrás.

Por las leyes de los exponentes, sabemos que $10^x \times 10^y = 10^{x+y}$ . $10^.5 \times 10^.5 = 10^1 = 10$ . Como queremos averiguar qué $10^.5$ es, subamos $x$ para ello.

$x \times x = 10 \rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{10} \to x = \sqrt{10}$